2007　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　空間内に異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，それらは一直線上にない．点$\mathrm{O}$を始点とし，終点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．解答欄に答のみ記入せよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線$l$のベクトル方程式を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．ただし，直線$l$上の任意の点を$\mathrm{P}\text{，}$かつ，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とし，媒介変数を$t$とせよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2$かつ$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta \text{（}0°\leqq \theta \leqq 180°\text{）}$とし，ベクトル$\overrightarrow{p}$と直線$l$が直交するとする．このとき，$\overrightarrow{p}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$\theta$を用いて表せ．

(3)　(2)の条件のもとで，$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$12:7$に内分するとき，角$\theta$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$が有理数のとき，

$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0\cdots$(A)

であれば，$a=b=0$であることを証明する．空欄を埋め，証明を完成せよ．空欄にあてはまる最も簡単な数を解答欄に記入せよ．

（証明）　$b\ne 0$と仮定すると，(A)と

$-{\displaystyle \frac{a}{b}}=\boxed{\text{ア}}\cdots$(B)

は同値である．(B)の左辺は有理数であるから，

$\boxed{\text{ア}}={\displaystyle \frac{n}{m}}\cdots$(C)

とおくことができる．ただし，$m\text{，}n$は正の整数で，$m$と$n$の最大公約数は$1$である．

　(C)の両辺を$2$乗して整理すると，

$\boxed{\text{イ}}{m}^2=\boxed{\text{ウ}}{n}^2\cdots$(D)

となる．したがって，$m^2$は$\boxed{\text{ウ}}$の倍数となるから，$m$も$\boxed{\text{ウ}}$の倍数である．そこで，$m=\boxed{\text{ウ}}l$（ただし，$l$は正の整数）と表すと，(D)より，$\boxed{\text{エ}}{l}^2=n^2$となる．したがって，$n^2$は$\boxed{\text{エ}}$の倍数であり，$n$も$\boxed{\text{エ}}$の倍数である．よって，$m$も$n$も$\boxed{\text{ウ}}$の倍数となり，$m$と$n$の最大公約数が$1$であることに矛盾する．したがって，$b=0$が得られた．このとき，(A)より$a=0$であるから，$a=b=0$である．（証明終わり）

【３】　$a$を，$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす定数とする．$1\leqq x\leqq 2a$のとき，

$y=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{a}})({\log }_2{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})$

の最大値と最小値を求めよ．

【４】　表が出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{），}$裏が出る確率が$q=1-p$のコインがある．このコインを投げ，表と裏が裏・表の順に出るまで投げ続ける試行を考える．$x=pq$とおくとき，次の各問に答えよ．(1)，(2)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　確率$p$がいろいろな値をとるとき，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$p^2+q^2\text{，}{p}^4+q^4$をそれぞれ$x$で表せ．

(3)　試行がちょうど$7$回で終了する確率$y$を$x$で表せ．

(4)　$y$を最大にする$x$の値を求めよ．