2007　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(1)　座標平面上の点$(x,y)$における動点$\mathrm{P}$は，サイコロを$1$回振るたびに，その出た目によって，次のように動く．

　出た目が$1$のときは点$(x+1,y)$へ，出た目が$2$のときは点$(x,y+1)$へ，出た目が$3$のときは点$(x+1,y+1)$へ，その他の目が出たときは点$(x,y)$に留まる．

　原点$(0,0)$にある動点$\mathrm{P}$が，サイコロを$3$回振った後，点$(2,2)$にある確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(2)　数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=99900\\ n\geqq 2\text{のとき，}{a}_1+a_2+\cdots +a_n=n^2{a}_n\end{array}$

　このとき$a_{999}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(3)　座標平面上における関数$y=x^3+x^2+x$のグラフ$G$に対し，

条件：$G$と異なる$3$点で交わる，傾きが$m$の直線が存在する

を満たす$m$の値の取り得る範囲は$m>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ケ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(4)　半径$r$の球面上に異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がある．

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=\sqrt{5}$

であるとき，$r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【２】　座標平面において，$C_0$は点$(0,1)$を中心とする半径$1$の円，$C_1$は点$(2,1)$を中心とする半径$1$の円である．$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，円$C_n$を次の$2$つの条件を満たすように定める．

• (ⅰ)　$C_n$は，$C_0$と$C_{n-1}$に外接し，かつ$x$軸に接する．
• (ⅱ)　$C_n$の半径は，$C_{n-1}$の半径より小さい．

　円$C_n$の中心を${\mathrm{P}}_n$とするとき，次の設問に答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(2)　$P_n$の座標を求めよ．

【３】　正の整数$n$に対して，整数$f(n)$を

$f(n)=\left[{\displaystyle \frac{n}{[\sqrt{n}]}}\right]$

で定義する．ただし，$\left[x\right]$は$x$以下の最大の整数を表す．例えば$[2]=2\text{，}[3.8]=3\text{，}\left[{\displaystyle \frac{7}{[\sqrt{7}]}}\right]=\left[{\displaystyle \frac{7}{2}}\right]=3$である．

　このとき，次の設問に答えよ．

(1)　$f(n)=5$となる$n$の最小値と最大値を求めよ．

(2)　$f(n)>f(n+1)$を満たす$2007$以下の正の整数$n$の個数を求めよ．