2007　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$x$の関数$f(x)\text{，}g(x)$は，次の条件を満たしている．

• (ⅰ)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f(x)+g(x)\}=2$
• (ⅱ)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{{(f(x))}^2+{(g(x))}^2\}=4x-2$
• (ⅲ)　$f(0)=1$
• (ⅳ)　$g(0)=-2$

　次の問に答えよ．

(1)　$f(x)+g(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)g(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$および$g(x)$を求めよ．

【２】　$m$を定数として，関数$y=x^3+(m+1)x^2-(m-1)x-2m+5\cdots \text{①}$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$\text{①}$のグラフは，$m$の値に関係なく定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

(2)　関数$\text{①}$において，極大値および極小値がともに存在するような$m$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)において，さらに極大値および極小値をとる$x$の値がともに正となる$m$の値の範囲を求めよ．

(4)　方程式$y=0$の解の$1$つが$x=1$となる$m$の値を求めよ．また，そのときのこの方程式の解をすべて求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$の$4$つの辺の長さは，$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\mathrm{CD}=1\text{，}\mathrm{DA}={\displaystyle \frac{3}{2}}$であり，$4$つの内角はすべて$180°$未満である．$\angle \mathrm{ABC}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{CDA}=\beta$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AC}=l$とするとき，$l^2$を$\cos \beta$の式で表せ．

(2)　$\cos \alpha -3\cos \beta$の値を求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とするとき，$4S$を$\sin \alpha$と$\sin \beta$の式で表せ．

(4)　$\cos (\alpha +\beta )$を$S$の式で表せ．

(5)　$S$の最大値を求めよ．