2007　南山大　数理情報Ａ2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　行列$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ 1& \sqrt{3}\end{array}\right)$について，$A^3=\boxed{\text{ア}}$であり，$A^{30}=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$4$次方程式$2x^4-3x^3+6x^2-2x-3=0$は$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$と$2$つの虚数解$\gamma \text{，}\delta$をもつ．これらの虚数解の和と積は，それぞれ$\gamma +\delta =\boxed{\text{ウ}}\text{，}\gamma \delta =\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$\sin \alpha -\sin \beta ={\displaystyle \frac{5}{4}}\text{，}\cos \alpha +\cos \beta ={\displaystyle \frac{5}{4}}$のとき，$\cos (\alpha +\beta )$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${\displaystyle \frac{5}{2}}\text{，}{\log }_{10}309\text{，}\sqrt{5+\sqrt{2}}$を小さい順に並べると$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　赤球$12$個と白球$12$個の合計$24$個の球を$12$個ずつに分けて，つぼ$\mathrm{A}$とつぼ$\mathrm{B}$に入れる．ただし，入れたあとには，つぼ$\mathrm{A}$から$2$個の球を取り出すときに$2$個とも白球である確率が${\displaystyle \frac{14}{33}}$となるようにする．それには，つぼ$\mathrm{A}$に入れる赤球の数が$\boxed{\text{キ}}$個となるように分ければよい．このように分けて入れたあと，それぞれのつぼから$2$個の球を取り出し，つぼ$\mathrm{A}$から取り出した$2$個の球をつぼ$\mathrm{B}$へ，つぼ$\mathrm{B}$から取り出した$2$個の球をつぼ$\mathrm{A}$に入れる操作を行う．つぼ$\mathrm{A}$に入っている赤球の数が，この操作を行う前よりも$1$個減る確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(6)　数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は，$a_1=1$および$a_{n+1}=3a_n+2n-4$を満たす．また，数列$\{b_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は，$b_n=a_{n+1}-a_n$を満たす．このとき，$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{ケ}}$であり，これを用いて$\{a_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円があり，この円周上を自由に動く点$\mathrm{P}$がある．この円と$x$軸との$2$つの交点をそれぞれ$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)$とする．また，$k$と$l$を定数とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{q}=k\overrightarrow{\mathrm{AP}}+l\overrightarrow{\mathrm{BP}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{q}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{p}\text{，}k\text{，}l$で表せ．

(2)　$k=1\text{，}l=2$のとき，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$k=1\text{，}l=2$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$となる点$\mathrm{Q}$の描く図形が円であることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．

【３】　$f(x)=\log {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{1+4x}}{2}}$とおき，関数$y=f(x)\text{（}x\geqq 2\text{）}$とその逆関数$y=g(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$について考える．

(1)　$g(x)$を$x$の式で表せ．

(2)　$a\geqq 2$のとき，${\displaystyle {\int }_2^a}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^{f(a)}}t{g}^{\prime }(t)dt$を示せ．

(3)　$a\geqq 2$のとき，${\displaystyle {\int }_0^{f(a)}}t{g}^{\prime }(t)dt=f(a)\cdot a-{\displaystyle {\int }_0^{f(a)}}g(t)dt$を示せ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_2^6}f(x)dx$を求めよ．