2007　南山大　数理情報Ｂ2月11日実施MathJax

(1)　$2$つの行列$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& a-1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& 3\\ 6& 2a\end{array}\right)$を考える．$A$が逆行列をもたないような$a$の値は$a=\boxed{\text{ア}}$である．また，$AB=BA$となるような$a$の値は$a=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　関数$f(x)=\cos 3x-6\cos x$がある．$0\leqq x\leqq \pi$において$f(x)$が最大となるのは$x=\boxed{\text{ウ}}$のときであり，その最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$とする．${\log }_{10}98$を計算すると$\boxed{\text{オ}}$である．さて，ある国の人口が$1$年間に$2\%$の割合で減少し続けるとすると，$n$年後には，この国の人口が初めて現在の人口の$50\%$未満となる．この整数$n$を求めると$n=\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　整式$A$を$x^3+x+2$で割ると余りが$x^2+3x+1$であり，$x^2-4$で割ると余りが$-x+1$である．このとき，$A$を$x^2-x+2$で割ると余りは$\boxed{\text{キ}}$であり，$A$を$x^3+x^2+4$で割ると余りは$\boxed{\text{ク}}$である．

(5)　$a>0\text{，}b>0$とし，$n$は$2$以上の整数とする．関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{(n-1){(\log ax)}^{n-1}}}$を$x$で微分して簡単にすると$\boxed{\text{ケ}}$となる．一方，$g(x)={\displaystyle \frac{x}{{(ax+b)}^2}}$の不定積分を求めると${\displaystyle \int }g(x)dx=\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\leqq 4$となる確率を求めよ．

(2)　$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|\leqq 2$となる確率を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．

　$C_2$は，$C_1$と外接し，正方形の$2$つの辺とも接する．また，$n\geqq 3$の場合，$C_n$は，$C_1\text{，}\cdots \text{，}{C}_{n-2}$の外部にあり，$C_{n-1}$と外接し，正方形の$2$つの辺とも接する．

　$C_n$の半径を$r_n$で表す．

(1)　$r_2\text{，}{r}_3$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$r_n$を$n$で表せ．

(3)　円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots$の面積の総和を求めよ．

(4)　$1$辺の長さが$2$の立方体に内接する半径$1$の球$G_1$と小さな球$G_2$がある．$G_2$は，$G_1$と外接し，立方体の$3$つの面とも接している．$G_2$の半径を求めよ．