2007　南山大　外国語,法学部2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数の定数とする．$x$の$3$次方程式$2x^3+a{x}^2+bx-2=0$の$1$つの解が$1+i$であるとき，他の解は$\boxed{\text{ア}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0<a<2$とし，$x$の関数$f(x)=2{\log }_3(\sqrt{3}\sin ax+\cos ax)-1$を$0°\leqq x\leqq 45°$で考える．$x$の方程式$f(x)=0$が$30°\leqq x\leqq 45°$で解をもつとき，定数$a$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$\angle \mathrm{C}=90°$の直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．斜辺の長さを$c\text{，}$他の$2$辺の長さを$a\text{，}b\text{，}$面積を$S$とする．このとき，$S-{\displaystyle \frac{c^2}{4}}$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，${\displaystyle \frac{c}{a+b}}$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$x$の$2$次方程式$x^2-(p+1)x+p^2-1=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもつとき，定数$p$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$p$がこの範囲を動くとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の最大値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　${\log }_{10}162$を${\log }_{10}2$と${\log }_{10}3$で表すと$\boxed{\text{キ}}$である．また，$1.6<{1.1}^5<1.62$を用いて，${1.1}^{100}$の整数部分の桁数を求めると$\boxed{\text{ク}}$である．ただし，$0.3<{\log }_{10}2<0.31\text{，}{\log }_{10}3<0.48$である．

【２】　$a$は正の定数とする．放物線$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2)$を通る接線を$l$とする．また，$\mathrm{P}$を通り，$l$に垂直に交わる直線を$m$とする．さらに，放物線$C_2:y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+bx+c$が$\mathrm{P}$を通り，$m$と接している．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$m$の方程式を求めよ．

(3)　$C_2$の方程式の係数$b\text{，}c$を$a$を用いて表せ．

(4)　$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$以外の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．

(5)　第$2$象限において，$C_1$と$C_2$と$y$軸とで囲まれた部分の面積$S$を$a$で表せ．