2007　同志社大　文系学部全学部日程2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}\sin \beta ={\displaystyle \frac{5}{13}}$であるとき，$\sin \alpha =\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos \beta =\boxed{\text{イ}}$であり，また，$\sin (\alpha +\beta )=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\sin (2\alpha +\beta )=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$の解が$p={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}\text{，}r=-2$であるとき，$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カ}}\text{，}c=\boxed{\text{キ}}$である．また，$p^2+q^2+r^2=\boxed{\text{ク}}\text{，}{p}^3+q^3+r^3=\boxed{\text{ケ}}\text{，}(1-p^2)(1-q^2)(1-r^2)=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$2$次関数$f(x)$と定数$p$が

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt+x{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt-{\displaystyle \frac{1}{3}}\{f(1)-f(-1)\}=4x^3+p{x}^2-10x-4$

をみたす．次の問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$f(x)$と定数$p$の値を求めよ．

(2)　$g(x)=(x+1)f(x)$とする．関数$g(x)$の極値とそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　正の奇数の列を，次のように$1^2\text{個，}{2}^2\text{個，}{3}^2\text{個，}\cdots$の群に分ける．

$(1)\text{，}(3\text{，}5\text{，}7\text{，}9)\text{，}(11\text{，}13\text{，}15\text{，}17\text{，}19\text{，}21\text{，}23\text{，}25\text{，}27)\text{，}\cdots$

次の問いに答えよ．

(1)　第$n$番目（$n\geqq 2$）の群の最初の数と最後の数を$n$で表せ．

(2)　第$14$番目の群の$119$番目の数を求めよ．

(3)　第$n$番目の群に入るすべての数の和$T_n$を求めよ．

(4)　$T_n\geqq 2007$となる最小の$n$の値を求めよ．