2007　同志社大　工Ａ，文化情報理系2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-2\sqrt{7}x-2=0$の正の解を$p$とすると，$p=\boxed{\text{ア}}$である．$p$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とすると

$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$

である．このとき，$b^4+88b-7=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}(n+3)+{\log }_{\frac{1}{2}}(n-1)>-5$をみたす整数$n$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$x\text{，}y\text{，}z$はすべて正の整数であるとする．$x+y+z=10$をみたす$x\text{，}y\text{，}z$の組は全部で$\boxed{\text{キ}}$個あり，そのうち，$x=2y$をみたす組は$\boxed{\text{ク}}$個あり，$x<y$をみたす組は$\boxed{\text{ケ}}$個ある．

【２】　座標平面上を運動する点$\mathrm{R}$の，時刻$t$における座標が

$(x,y)=(t\cos t,t\sin t)\text{（}t>0\text{）}$

で表される．また，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸の正の部分との交点を，その$x$座標の小さい方から${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$とする．次の各問に答えよ．

(1)　運動する点$\mathrm{R}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}$を求めよ．

(2)　点${\mathrm{P}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$における曲線$C$の接線$L_k$の方程式を求めよ．

(3)　接線$L_k$と$L_{k+1}$の交点を${\mathrm{Q}}_k$とする．${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}\cdots$が$1$つの放物線上にあることを示し，その放物線の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C$の$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分と$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　行列$P$は逆行列をもつ$2$次の正方行列とし

$C=P\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)P^{-1}\text{，}D=P\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)P^{-1}\text{，}A=\alpha C+\beta D$

とする．ただし，$\alpha \text{，}\beta$は定数である．次の各問に答えよ．

(1)　$CD$を求め，$A^2$を$C\text{，}D\text{，}\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　$A^k$（$k$は正の整数）を$C\text{，}D\text{，}\alpha \text{，}\beta \text{，}k$を用いて表せ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$のとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}{P}^{-1}$を求めよ．

(4)　(3)の$A$に対し，$A^k$（$k$は正の整数）を求めよ．

(5)　(3)の$A$に対し，$y_k=(10)A^k\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$とする．$\underset{k\to \infty }{\lim }{y}_k$を求めよ．

【４】　$f(x)=\sqrt{|1-x^2|}-x-1\text{（}x>-1\text{）}$とおく．次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフの概形を描き，$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(4)　$x$軸と曲線$y=f(x)$のグラフ，および$2$直線$x=-a\text{，}x=a$とで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．