2007　同志社大　社会学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を

$a_1=1\text{，}{b}_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+8b_n\text{，}{b}_{n+1}=2a_n+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．数列$\{a_n+k{b}_n\}$が等比数列になるような定数$k$は$2$つあって，それらを$k_1\text{，}{k}_2\text{（}{k}_1<k_2\text{）}$とすると，$k_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{k}_2=\boxed{\text{イ}}$となる．それぞれについて，一般項は$a_n+k_1{b}_n=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{a}_n+k_2{b}_n=\boxed{\text{エ}}$である．したがって$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項は，$a_n=\boxed{\text{オ}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=75°\text{，}\mathrm{AB}=2\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=2\sqrt{2}$である．このとき$\mathrm{AC}=\boxed{\text{キ}}$であり，$\angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{ク}}\text{，}\angle \mathrm{ACB}=\boxed{\text{ケ}}$となる．また，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面内に，放物線$y=-x^2+2ax+3a^2\text{（}a>0\text{）}$がある．放物線と$x$軸との$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方の交点を$\mathrm{A}$とし，$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．放物線の頂点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線と$y$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の方程式を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{DBC}$の面積が等しい場合の$a$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面内の$x$軸上の正の部分に動点$\mathrm{P}$があり，$y$軸上の正の部分に動点$\mathrm{Q}$があって$\mathrm{PQ}$の長さが$1$であるとする．また，$\mathrm{PQ}$の$3$等分点のうち$\mathrm{P}$に近い方を$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{Q}$に近い方を$\mathrm{T}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OS}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OT}}$を求めよ．

(2)　$\cos \angle \mathrm{SOT}$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{SOT}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．