2007　同志社大　工Ｂ2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　中心を$\mathrm{O}$とし半径$1$の円に内接する正$12$角形の隣り合う$2$頂点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{イ}}$

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}-1}{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}}$

である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　直線$y=p(x-1)\mathrm{+}2$と放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$は異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わる．$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_1\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_2$とし，$x_1<x_2$であるとすると，$x_1=\boxed{\text{カ}}\text{，}{x}_2=\boxed{\text{キ}}$である．放物線上の点$\mathrm{P}$における接線の方程式は$p$を用いて表すと$y=\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}$であり，$\mathrm{P}$における接線と$\mathrm{Q}$における接線の交点$\mathrm{R}$の座標は$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}})$である．$▵\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{シ}}$であり，その最小値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は

$a_1=1\text{，}{b}_1=1\text{，}\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+8b_n\\ b_{n+1}=2a_n+b_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすとする．次の各問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n+d{b}_n\}$が等比数列となるような定数$d$の値をすべて求めよ．

(2)　一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(3)　数列$\{c_n\}$を

$c_n={\displaystyle \frac{1}{4{b_n}^2-{a_n}^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定めるとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$について次の各問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフを描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$である．

(2)　$m^n=n^m\text{（}m<n\text{）}$をみたす自然数$m\text{，}n$の組をすべて求めよ．

(3)　自然数$k$に対し，積分$a_k={\displaystyle {\int }_1^{e^k}}f(x)dx$を求めよ．

(4)　(3)において，${\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a}_k$を求めよ．

【４】　半径$1$の円に内接する$▵\mathrm{ABC}$において

$\angle \mathrm{A}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{B}=\beta \text{，}\angle \mathrm{C}=\gamma$

とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$\sin \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\sin \gamma$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$\sin \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\sin \gamma$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径$R$を$\sin \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\sin \gamma$で表せ．

(4)　$\gamma$が一定のとき，$S$の最大値とそのときの$\alpha \text{，}\beta$を$\gamma$で表せ．

(5)　$\alpha =\beta$のとき，$R$を$\cos \alpha$で表し，$R$の最大値を求めよ．