2007　同志社大　総合政策学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+b=0$（$a\text{，}b$は実数）は虚数解$x=1+i$をもつ．このとき$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$であり，他の$2$つの解は$x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　任意の実数$t$に対して，$s=3^t+{\displaystyle \frac{1}{3^t}}$とする．このとき$9^t+{\displaystyle \frac{1}{9^t}}$と${27}^t+{\displaystyle \frac{1}{{27}^t}}$は$s$を用いて表すと，それぞれ，$9^t+{\displaystyle \frac{1}{9^t}}=\boxed{\text{オ}}\text{，}{27}^t+{\displaystyle \frac{1}{{27}^t}}=\boxed{\text{カ}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　自然数$x\text{，}y\text{，}z$が${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=1$をみたすとする．そのうち，特に$x\leqq y\leqq z$をみたす場合，$(x,y,z)$の組は$3$通りあり$(x,y,z)=(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})\text{，}$$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})\text{，}$$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})$である．したがって，$(x,y,z)$の組は全部で$\boxed{\text{タ}}$通りである．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さをそれぞれ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3$とし，それらの内積を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$s\text{，}t$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$u\text{，}v$を求めよ．（三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は$1$点で交わるが，その交点を三角形の垂心という．）

【３】　$5$人の男子$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$と$3$人の女子$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$が，手をつないで輪を作るとき，次のような並び方は何通りあるか．

(1)　女子が$3$人隣り合う．

(2)　女子$3$人のうち$2$人だけ隣り合う．

(3)　女子が隣り合わない．