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2007-14861-0701
2007 同志社大学 文・商学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 任意の実数 a について直線 2⁢ a⁢x- 3⁢y+ 6⁢a+ 15=0 は常に定点 ( ア , イ ) を通る.また,この直線が放物線 y= x2 と共有点をもつための a の範囲は ウ である.
2007-14861-0702
(2) p, q を正の実数とする. ( p2+1 )⁢ (q2 +1) p⁢ q の最小値は エ である.
2007-14861-0703
(3) 正六角形の頂点を,隣り合う順に反時計回りに A ,B ,C ,D ,E ,F と名づける. AB→ =a→ ,BC →= b→ とおく.このとき, a → ,b → を用いて FD →= オ ⁢ a→ + カ ⁢ b→ ,BD →= キ ⁢ a→+ ク ⁢ b→ , BE→ = ケ ⁢a →+ コ ⁢ b→ と表される.
2007-14861-0704
【2】 3 次関数 f⁡ (x)= 3⁢x3 +a⁢ x2+b ⁢x+c が常に f⁡ (-x) =-f⁡ (x) をみたし,また, f⁡(x ) には極大値と極小値が存在してその差が 3⁢ 2 であるとする.次の問いに答えよ.
(1) a ,b ,c の値を求めよ.
(2) 点 (t, f⁡(t )) における曲線 y= f⁡(x ) の接線 L の方程式を求めよ.
(3) y=f⁡ (x) と L の共有点のうち,接点以外のものの座標を t で表せ.ただし t≠ 0 とする.
2007-14861-0705
【3】 初項が a1 =10 の数列 {an } により直線 L n: y=( an -4) ⁢x と放物線 C n:y =x 2+( an -6) ⁢x +an +1- 3⁢an を定める.すべての自然数 n に対して Ln と Cn は 2 つの異なる交点をもち,交点の x 座標の差は 6 である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 数列 {an } の漸化式と一般項を求めよ.
(2) 数列 {an } の初項から第 n 項までの総和 Sn を求めよ.
(3) Ln と Cn の 2 つの交点の座標を求めよ.
(4) Ln と Cn で囲まれてできる領域の面積を Tn とする. Tn< Sn をみたす n の範囲を求めよ.