2007　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k$を定数として，曲線

$F:y=k(x-a)(x-b)(x-c)$

と$3$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(b,0)\text{，}\mathrm{C}(c,0)$を考える．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は互いに異なり，$k$は$0$でないとする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の中点を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$F$との交点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(2)　点$\mathrm{P}$における曲線$F$の接線$l$の傾きは$\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　接線$l$と$x$軸との交点の座標は$(\boxed{\text{エ}},0)$となる．

(4)　線分$\mathrm{BC}$の中点を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$F$との交点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$における曲線$F$の接線を$l^{\prime }$とする．接線$l$と$l^{\prime }$が平行であるための必要十分条件は$a\text{，}b\text{，}c$を用いて$\boxed{\text{オ}}$と表される．

【２】　空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と実数$p$（ただし$|p|<1$）について，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$

かつ

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=p$

が成立しているとする．

　このとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|=\boxed{\text{カ}}$が成り立ち，$▵\mathrm{ABC}$は正三角形になる．点$\mathrm{G}$を$▵\mathrm{ABC}$の重心とすると，点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{G}$の距離は$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\boxed{\text{キ}}$と表される．

　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一平面上にあるための条件は$p=\boxed{\text{ク}}$であり，これらの$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が四面体の頂点となりうるのは$\boxed{\text{ク}}<p<1$が満たされるとき，かつ，そのときに限る．この四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$は$V=\boxed{\text{ケ}}$と表されるから，$V$が最大となるのは$p=\boxed{\text{コ}}$のときである．

　ただし，$\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$には$p$の式を，$\boxed{\text{ク}}$と$\boxed{\text{コ}}$には実数を入れよ．

【３】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$1$の円$S$を考える．図のように，$S$上に互いに異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{B}$をとり，$\angle \mathrm{AOP}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{POQ}=\beta \text{，}\angle \mathrm{QOB}=\gamma$とおく．点$\mathrm{P}$を含む弧$\mathrm{AQ}$上に点${\mathrm{P}}_1$を$▵\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1\mathrm{Q}$の面積が最大になるようにとり，$\angle \mathrm{A}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1={\alpha }_1$とおく．このとき，${\alpha }_1=\boxed{\text{サ}}$となる．点$\mathrm{Q}$を含む弧$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1$上に点${\mathrm{Q}}_1$を$▵\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$の面積が最大になるようにとり，$\angle \mathrm{BO}{\mathrm{Q}}_1={\gamma }_1$とおく．このとき，${\gamma }_1=\boxed{\text{シ}}$となる．さらに，点${\mathrm{P}}_1$を含む弧$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_1$上に点${\mathrm{P}}_2$を$▵\mathrm{A}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_1$の面積が最大になるようにとり，$\angle \mathrm{A}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2={\alpha }_2$とおく．点${\mathrm{Q}}_1$を含む弧$\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2$上に点${\mathrm{Q}}_2$を$▵\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$の面積が最大になるようにとり，$\angle \mathrm{B}\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_2={\gamma }_2$とおく．以下同様に，点${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$と点${\mathrm{Q}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{，}\cdots$を交互にとっていき，$\angle \mathrm{A}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n={\alpha }_n\text{，}\angle \mathrm{B}\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_n={\gamma }_n$とおく．

　このとき，${\alpha }_{n+1}$を$a_n\text{，}{\gamma }_n$を使って表すと，${\alpha }_{n+1}=\boxed{\text{ス}}$となる．同様に，${\gamma }_{n+1}$は${\alpha }_{n+1}\text{，}{\gamma }_n$を用いて${\gamma }_{n+1}=\boxed{\text{セ}}$と表せる．これらを用いて，

${\alpha }_{n+1}-{\gamma }_{n+1}=\boxed{\text{ソ}}({\alpha }_1-{\gamma }_1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

となり，また，

${\alpha }_{n+1}-{\alpha }_n=\boxed{\text{タ}}({\alpha }_1-{\gamma }_1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

となる．これより，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n=\boxed{\text{チ}}$

である．よって，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\gamma }_n=\boxed{\text{ツ}}$

となる．

　ただし，$\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$には$n$の式を，$\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{チ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}$には$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の式を入れよ．

【４】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9$と書いたカードがそれぞれ一枚ずつある．この$10$枚のカードから無作為に$1$枚を選び，その数を$X$とする．そのカードをもとに戻して，再び$10$枚のカードから無作為に$1$枚を選び，その数を$Y$とする．以下では，$0$は$3$の倍数とする．

(1)　和$X+Y$の期待値は$\boxed{\text{テ}}$，積$XY$の期待値は$\boxed{\text{ト}}$である．

(2)　和$X+Y$が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ナ}}$，積$XY$が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ニ}}$である．

(3)　和$X+Y$が$3$の倍数のとき，積$XY$が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ヌ}}$である．和$X+Y$が$3$の倍数でないとき，積$XY$が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ネ}}$である．