2007　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　対数関数$y=2{({\log }_{4}x)}^2-2{\log }_{4}x$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$で，$x=\boxed{\text{イ}}$のときである．

【１】

(2)　$\sin (-15°)$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(3)　次の各文の$\boxed{}$に，最も適当な語句を下記の$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{D}$の中から選び，記号で答えよ．ただし，$a\text{，}x\text{，}y$は実数とする．

(ⅰ)　$a\geqq 0$は$\sqrt{a^2}=a$であるための$\boxed{\text{エ}}$

(ⅱ)　$x^4=y^4$は$x=y$の$\boxed{\text{オ}}$

(ⅲ)　$\angle \mathrm{P}<90°$は$▵\mathrm{PQR}$が鋭角三角形であるための$\boxed{\text{カ}}$

• $\mathrm{A}$　必要条件である．
• $\mathrm{B}$　十分条件である．
• $\mathrm{C}$　必要十分条件である．
• $\mathrm{D}$　必要条件でも十分条件でもない．

【１】

(4)　$1$から$20$までの整数を$1$つずつ記入したカードがあり，この$20$枚のカードから無作為に$4$枚を同時に取り出すとする．その$4$枚のカードのうち，最も小さな整数が$10$である確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外心$\mathrm{O}$を基準点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と定める．位置ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$で示されるような点$\mathrm{H}$を考える．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\boxed{\text{ク}}$

となる．

　したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の関係は，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

となる．

　よって

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=\boxed{\text{コ}}:1$

となる．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AH}\text{，}\mathrm{BH}\text{，}\mathrm{CH}$の中点を，それぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{サ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OL}}=\boxed{\text{シ}}$

となるから，線分$\mathrm{LP}$の中点の位置ベクトルは$\boxed{\text{ス}}$で表される．

　また，線分$\mathrm{MQ}$の中点の位置ベクトルは$\boxed{\text{セ}}$，線分$\mathrm{NR}$の中点の位置ベクトルは$\boxed{\text{ソ}}$で表される．

(3)　(2)より，$3$つの線分$\mathrm{LP}\text{，}\mathrm{MQ}\text{，}\mathrm{NR}$は$\boxed{\text{タ}}$ことがわかる．ただし，$\boxed{\text{タ}}$には最も適当な語句を下記の$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{D}$から選び，記号で答えよ．

• $\mathrm{A}$　直交する
• $\mathrm{B}$　平行になる
• $\mathrm{C}$　一点で交わる
• $\mathrm{D}$　三角形を作る

【３】　$f(x)=|x^2-x-1|\text{，}g(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+k$について考える．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが第$1$象限で接するときの$k$の値を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．

(3)　$k$の値が(2)を満たすとき，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれる面積を求めよ．ただし，次の等式${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$が成り立つことを利用してもよい．