2007 立命館大 理系学部A方式2月3日実施MathJax

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2007 立命館大学 理工学部,情報理工学部

A方式2月3日実施

易□ 並□ 難□

【1】(1)  a 0 でない実数とし,

とおく.このとき,

である.

 ただし, には a の式を入れよ.

(2) 曲線 y= ex x 軸, y 軸,直線 x =π とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してきる立体の体積を V とすると, V= である.

 また,曲線 y= ex sin x 軸, y 軸,直線 x =π とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は, V 倍である.

 同様に,曲線 y= ex cos x x 軸, y 軸,直線 x=π とで囲まれた図形を x 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積は, V 倍である.

 ただし, には実数を入れよ.

2007 立命館大学 理工学部,情報理工学部

A方式2月3日実施

易□ 並□ 難□

【2】(1) 実数係数の整式 f (x)= x4 +a x2+ bx +c が実数 p q r を用いて, f (x) =( x2 +p x+q ) ( x2- px +r ) と因数分解できるとする.このとき, p q r を用いて a = b= c= と表せる.これらより, p についての関係式

p6 + p4 + p2 + =0

が導ける.

 ただし, には a b c の式を入れよ.

(2) 方程式 x 4+ x2+ 3x- 5 4= 0 を考えると, より p 2= が得られるから,方程式 の解は となる.

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A方式2月3日実施

易□ 並□ 難□

【3】  a a >1 を満たす実数とする.このとき,座標平面上で直線 x+ y=2 a と双曲線 y = 1x の交点を考え,それらのうち x 座標が y 座標より小さい方を点 A とすれば,点 A の座標は a を用いて, A ( , ) と表される.

 次に,原点 O と双曲線上の点 B (1 ,1) を考え,点 A と点 B を結ぶ双曲線の弧と線分 OA OB によって囲まれる図形の面積を T とおく.ここで,点 A B から x 軸に下ろした垂線をそれぞれ AH A BH B とすると,点 H A の座標は ( ,0 ) H B の座標は (1 ,0) となる.

  OAH A の面積 S 1 OBHB の面積 S 2 を比較すると, S1 -S2 = が成り立つ.面積 T a を用いて表すと, T= となる.このとき,点 A の座標を T の関数として表すと, A ( , ) となる.

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A方式2月3日実施

易□ 並□ 難□

2007年度立命館大理系2月3日実施【4】の図

【4】 図のように平面上で,原点 O を中点とする長さ 2 l の線分 AB が,原点 O のまわりを一定の速さで回転している.また, y 軸上の点 G を中心とした半径 r の円 C で囲まれた領域 D を考える.ただし,領域 D は円 C を含まない.領域 D において連続した作業を行いたいので,作業中は線分 AB が領域 D と共有点をもたないことが要求される.

 線分 OG の長さを h とすると, h< の場合は線分 AB と領域 D は常に共有点をもち, h のときは線分 AB と領域 D が共有点をもつことはない.よって,ここでは h< の場合を考える.このとき,線分 AB が円 C の接線となる時刻があるための h の条件は である.

 以下では, l=r とする.また,線分 AB は時刻 0 y 軸に重なり,時間 t の間に角 α t ラジアン回転するものとする.ここで, h= 2r としたとき,作業の開始時間を適切に選べば,連続して作業できる時間 T は最大で まで許される.この作業の開始時刻は + n π n=0 1 2 となる.また, h=3 r としたときは,同様の T の最大値は となる.

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