2007　立命館大　理系学部Ａ方式2月7日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を定数として，$3$次式$f(x)=x^3-2x+a$と$2$次式$h(x)=x^2+2x+b$の共通因数について調べる．

$f(x)=q(x)h(x)+r(x)$

を満たす多項式$q(x)=\boxed{\text{ア}}\text{，}r(x)=\boxed{\text{イ}}$がある．ただし，$r(x)$の次数は$1$以下とする．

(1)　どのような$x$の値に対しても$r(x)$が定数となる条件は$\boxed{\text{ウ}}$である．特に，$r(x)=0$となる条件は$\boxed{\text{ウ}}$かつ$\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$r(x)$が$1$次式のとき，$2$次式$h(x)$が$r(x)$で割り切れるための条件は$\boxed{\text{オ}}$となる．この条件が成り立つとき，$3$次式$f(x)$も$r(x)$で割り切れるので，$1$次式$r(x)$は$f(x)$と$h(x)$の共通因数となる．

(3)　$a=1$のとき，$f(x)$と$h(x)$が$1$次式を共通因数としてもつための$b$についての条件は，$3$次方程式$\boxed{\text{カ}}$で表され，これを解くと，$b=\boxed{\text{キ}}\text{，}\boxed{\text{ク}}\text{，}\boxed{\text{ケ}}$となる．

【２】(1)　$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{U}(1,0,-1)\text{，}\mathrm{V}(0,1,-2)$を通る平面$Q$上の任意の点$\mathrm{W}(x,y,z)$は，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OU}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OV}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OW}}=s\overrightarrow{\mathrm{OU}}+t\overrightarrow{\mathrm{OV}}\text{（}s\text{，}t\text{は実数）}$

と表せる．方程式$z=0$で表される平面$P$上にあり，かつ平面$Q$上にない点${\mathrm{A}}_0(a,b,0)$から，平面$Q$へ垂線を下ろし，その交点を${\mathrm{B}}_1$とすると，点${\mathrm{B}}_1$の座標は$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$となる．

　点${\mathrm{B}}_1$から平面$P$へ垂線を下ろし，その交点を${\mathrm{A}}_1(x_1,y_1,0)$とすると，

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ス}}& \boxed{\text{セ}}\\ \boxed{\text{ソ}}& \boxed{\text{タ}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

の関係式が成立する．

(2)　点${\mathrm{A}}_1$から平面$Q$へ垂線を下ろし，その交点を${\mathrm{B}}_2$とし，点${\mathrm{B}}_2$から平面$P$へ垂線を下ろし，その交点を${\mathrm{A}}_2$とする．以下同様にして，平面$Q$上に点${\mathrm{B}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_n\text{，}\cdots \text{，}$平面$P$上に点${\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n\text{，}\cdots$を交互にとる．そして，点${\mathrm{A}}_n$の座標を$(x_n,y_n,0)$とする．このとき，$(x_n,y_n)$を$x_{n-1}\text{，}{y}_{n-1}$で表すと，

$(x_n,y_n)=(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$

となる．

(3)　$x_n$と$y_n$を$a\text{，}b$を用いて表すことを考えよう．

$T=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$

とおくと，

$T^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{テ}}& \boxed{\text{ト}}\\ \boxed{\text{ナ}}& \boxed{\text{ニ}}\end{array}\right)$

であり，

$T^{-1}\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ス}}& \boxed{\text{セ}}\\ \boxed{\text{ソ}}& \boxed{\text{タ}}\end{array}\right)T=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヌ}}& \boxed{\text{ネ}}\\ \boxed{\text{ノ}}& \boxed{\text{ハ}}\end{array}\right)$

となるから，

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヒ}}& \boxed{\text{フ}}\\ \boxed{\text{ヘ}}& \boxed{\text{ホ}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

を満たす．

(4)　また，

• $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\boxed{\text{マ}}$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\boxed{\text{ミ}}$

である．

【３】　平面上に異なる$3$点${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,y_2)\text{，}{\mathrm{P}}_3(x_3,y_3)$がある．$0\leqq t\leqq 1$を満たす実数$t$に対し，点${\mathrm{Q}}_1(t)$は時刻$t=0$に点${\mathrm{P}}_1$を出発し，時刻$t=1$に点${\mathrm{P}}_2$に到着するように，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上を一定の速度で運動する．同様に，点${\mathrm{Q}}_2(t)$は時刻$t=0$に点${\mathrm{P}}_2$を出発し，時刻$t=1$に点${\mathrm{P}}_3$に到着するように，線分${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$上を一定の速度で運動する．さらに，線分${\mathrm{Q}}_1(t){\mathrm{Q}}_2(t)$を$t:(1-t)$に内分するように動く点を$\mathrm{B}(t)$とする．ただし，$t=0$と$t=1$のときには，$\mathrm{B}(0)={\mathrm{P}}_1\text{，}\mathrm{B}(1)={\mathrm{P}}_3$とみなす．

(1)　点${\mathrm{Q}}_1(t)$の座標は$t$と$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_2\text{，}{x}_3\text{，}{y}_3$を用いて，$(\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}})$と表される．

　点${\mathrm{Q}}_2(t)$についても同じように求められるから，点$\mathrm{B}(t)$の座標は$t$と$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_2\text{，}{x}_3\text{，}{y}_3$を用いて$(\boxed{\text{モ}},\boxed{\text{ヤ}})$と表される．

(2)　時刻$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$における点$\mathrm{B}(t)$の速度ベクトルは，$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_2\text{，}{x}_3\text{，}{y}_3$を用いて$(\boxed{\text{ユ}},\boxed{\text{ヨ}})$と表される．

(3)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を${\mathrm{P}}_1(-1,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(0,h)\text{，}{\mathrm{P}}_3(1,0)$とする（ただし，$h\ne 0$）．このとき，点$\mathrm{B}(t)$の軌跡を表す方程式は，$y=\boxed{\text{ラ}}{x}^2+\boxed{\text{リ}}x+\boxed{\text{ル}}$となる．

(4)　$x_1<x_2<x_3$かつ$h>0$として，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$を${\mathrm{P}}_1(x_1,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(x_2,h)\text{，}{\mathrm{P}}_3(x_3,0)$とする．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲で変化するときに$\mathrm{B}(t)$が描く曲線と$x$軸に囲まれた部分の面積は，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}h$を用いて$\boxed{\text{レ}}$と表される．

【４】　$5$個の文字$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{X}$を横一列に並べる．ただし，同じ文字どうしは区別しないものとする．

(1)　この並べ方は$\boxed{\text{あ}}$通りある．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{A}$が隣り合うような並べ方は$\boxed{\text{い}}$通りある．

(3)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{A}$が隣り合い，かつ，$\mathrm{B}$と$\mathrm{B}$も隣り合うような並べ方は$\boxed{\text{う}}$通りある．

(4)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{A}$が隣り合わず，かつ，$\mathrm{B}$と$\mathrm{B}$も隣り合わないような並べ方は$\boxed{\text{え}}$通りある．

(5)　$\mathrm{X}$より右側と左側にそれぞれ$1$つずつ$\mathrm{A}$があるような並べ方は$\boxed{\text{お}}$通りある．$\text{（例：}\mathrm{AXBAB}\text{）}$