2007　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　$1$ダースのボールペンを買うために$1200$円持って店に来たところ，$130$円のボールペンと$80$円のボールペンがあった．$130$円のボールペンをできるだけ多く買うと，$130$円のボールペンは$12$本中$\boxed{\text{ア}}$本になる．

【１】

(2)　ある会社の人事方針は，できるだけ多くの新入社員を採用し，厳しい内部競争でふるいにかけ，少数の優秀な人材を残すことである．その結果，この会社では入社した社員は毎月定率で退職し，$6$か月毎に同期に入った社員数が半分になる．この会社の同期入社の社員数が入社時の${\displaystyle \frac{1}{10}}$以下になるのは，入社してから$\boxed{\text{イ}}$か月後である．$\boxed{\text{イ}}$は整数で答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】

(3)　関数$y=\sin x+{\cos }^{2}x$において，$y$の値のとりうる範囲は，$\boxed{\text{ウ}}\leqq y\leqq \boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(4)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円と直線$ax+by+c=0$が二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．$\mathrm{AB}=2$となるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の満たす関係式は$\boxed{\text{オ}}$である．また，このとき，$▵\mathrm{OAB}$の内心の軌跡を表す方程式は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】

(5)　次の連立不等式の表す領域を$D$とする（ただし，$a>0$）．

$\{\begin{array}{l}ax-y\leqq 0\\ x+ay\geqq 0\\ 2x+y\leqq 3\\ x-2y\geqq -1\end{array}$

　$D$が四角形となるような$a$の値の範囲は$0<a<\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　アルとビリーは飛行機の故障で砂漠に不時着した．不時着した時，アルはフリーズドライのピラフを$80$袋，一方，ビリーはミネラル・ウォーターを$190$本持っていた．そこで，$2$人はピラフとミネラル・ウォーターの一部を交換して消費することにした．以下，$x$はピラフの消費量を，$y$はミネラル・ウォーターの消費量をそれぞれ表し，添字$\mathrm{A}$はアルを，添字$\mathrm{B}$はビリーをそれぞれ表すとする．例えば，$x_{\mathrm{A}}$はアルが消費するピラフの量を表す．すると，

$\begin{array}{l}80=x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}\cdots \text{①}\\ 190=y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}\cdots \text{②}\end{array}$

となる．ただし，$x_{\mathrm{A}}\text{，}{x}_{\mathrm{B}}\text{，}{y}_{\mathrm{A}}\text{，}{y}_{\mathrm{B}}$はすべて正である．

　このとき，アルとビリーが，ピラフとミネラル・ウォーターを消費することによって得る満足について考えよう．その満足の大きさ（満足値）$u_{\mathrm{A}}\text{，}{u}_{\mathrm{B}}$は，それぞれ次式によって決まるとしよう．

• $u_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{A}}\cdots \text{③}$
• $u_{\mathrm{B}}=x_{\mathrm{B}}{y_{\mathrm{B}}}^2\cdots \text{④}$

　アルの満足値$u_{\mathrm{A}}$を$240$に保つという条件のもとで，ビリーの満足値$u_{\mathrm{B}}$が最大となるときの消費量$x_{\mathrm{B}}\text{，}{y}_{\mathrm{B}}$を求めることにする．

(1)　アルの満足値$u_{\mathrm{A}}$は$240$であるから，$y_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{ク}}$となる．次に，$y_{\mathrm{B}}$を$x_{\mathrm{B}}$を用いて表すと，$y_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ケ}}$となる．

(2)　$y_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ケ}}$を$\text{④}$に代入すると，$u_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{コ}}$となり，ビリーの満足値$u_{\mathrm{B}}$は$\boxed{\text{サ}}$の関数として表される．

(3)　(2)よりビリーの満足値$u_{\mathrm{B}}$が最大になるのは$\boxed{\text{サ}}=\boxed{\text{シ}}$のときである．このとき，$y_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ス}}$となり，ビリーの満足値$u_{\mathrm{B}}$の最大値は$\boxed{\text{セ}}$となる．また，この場合の交換比率は，ピラフ$1$袋あたりミネラル・ウォーター$\boxed{\text{ソ}}$本となる．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-3x^2+3kx$について考える．

(1)　$f(x)$が極大値と極小値をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$y=f(x)$が極大となる点を$\mathrm{A}\text{，}$極小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$は，この関数のグラフ上にあることを証明せよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフ上で$x$座標が$-2$である点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CM}$となるように$k$の値を定めよ．