2007　立命館大　文系学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　方程式$4^x-6\cdot 2^{x-1}-4=0$を解くと，$x=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

(2)　$55x^2+2xy+y^2=2007$を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めると，$(x,y)=\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

(3)　$\cos 3\theta =\cos (2\theta +\theta )$であるから，加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表すと，$\cos 3\theta =\boxed{\text{カ}}$である．ここで，$y=\cos 3\theta -\cos \theta$を考え，$\cos \theta =t$とおくと，$y=\boxed{\text{キ}}$と表される．よって，$y$の最大値は$\boxed{\text{ク}}$，最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

(4)　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の数字のカードがそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚が箱の中に入っている．この箱から，取り出したカードは戻さずに，$1$枚ずつ連続してカードを取り出す．最初のカードを一の位，$2$番目を十の位，$3$番目を百の位の数として$3$桁の数を作る．ただし，$3$番目のカードが$0$の場合は$4$番目に取り出したカードを百の位とする．$3$回取り出して$3$桁の数ができる確率は$\boxed{\text{コ}}$であり，$4$回目で$3$桁の数ができる確率は$\boxed{\text{サ}}$である．また，$3$桁の数が偶数となる確率は$\boxed{\text{シ}}$であり，$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$\mathrm{A}$君は，所持金の中から音楽$\text{CD}$を何枚か購入して鑑賞する．$\mathrm{A}$君の満足値（満足の大きさ）は，音楽$\text{CD}$の購入枚数が多いほど，また所持金の残額が多いほど大きくなる．$\mathrm{A}$君の満足値を$u\text{，}$音楽$\text{CD}$の購入枚数を$x\text{，}$所持金の残額を$m$とすれば，$u$は$x$と$m$を用いて

$u=50x^{\frac{1}{2}}+m\cdots \text{①}$

と表せるとする．

　ここでまず，$\mathrm{A}$君の満足値を最大にする音楽$\text{CD}$の購入枚数について考えよう．

(1)　所持金を$500\text{，}$音楽$\text{CD}$の単価を一律に$p$とすれば，$x$と$m$の間に

$\boxed{\text{セ}}=500\cdots \text{②}$

が成り立つ．

(2)　$\text{①}\text{，}\text{②}$より，$u$を$p$と$x$を用いて表すと，

$u=\boxed{\text{ソ}}\cdots \text{③}$

となる．

　ここで，$t=x^{\frac{1}{2}}$とおくと，

$u=\boxed{\text{タ}}\cdots \text{④}$

が得られる．

(3)　(2)より，$\mathrm{A}$君の満足値$u$が最大となるのは，$x=\boxed{\text{チ}}$のときであり，その最大値は$\boxed{\text{ツ}}$である．

　次に，音楽$\text{CD}$を購入することによって，購入前と比べて$\mathrm{A}$君の満足値がどれだけ増加するかを考えよう．

(4)　$x=0$のときの$\mathrm{A}$君の満足値$u$は$\boxed{\text{テ}}$である．一方，(3)で$x=\boxed{\text{チ}}$のときに$\mathrm{A}$君の満足値$u$は最大となり，その値は$\boxed{\text{ツ}}$である．したがって，音楽$\text{CD}$を$\boxed{\text{チ}}$だけ購入することによって$\mathrm{A}$君の満足値$u$は$\boxed{\text{ト}}$だけ増加する．

　さらに，$p=25$のとき，$\mathrm{A}$君の満足値$u$は$\boxed{\text{ナ}}$だけ増加する．

【３】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と直線$l:y=mx+n\text{（}m>0\text{，}n<1\text{）}$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとする．また，点$\mathrm{R}$の座標を$(0,1)$とする．

(1)　放物線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積と$▵\mathrm{PQR}$の面積が等しいとき，$n$を$m$の式で表せ．

(2)　直線$l$が(1)で求めた関係式を満たし，点$(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$を通るとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

(3)　直線$l$が(1)で求めた関係式を満たし，原点を通るとき，$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．