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2007-14991-0101
2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部A方式
2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 C: y=f⁡ (x)= x⁢e -x について,次の問いに答えよ.
(1) y=f ⁡(x ) の増減,凹凸を調べて C のグラフをかけ.
(2) C 上の点 (a ,f⁡ (a) ) における接線を l a とし,その方程式を y =ga ⁡( x) とおく. ga⁡ (x ) を求めよ.
(3) a≦2 の範囲で,直線 la , x =-1 ,x =2 , および曲線 C で囲まれた領域の面積 S ⁡(a ) を求めよ.また, S⁡( a) を最小にする a の値を求めよ.
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2007 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部A方式
【2】 θ を 0 <θ< π 2 を満たす定数とし,
r⁡( θ)= 2- (2⁢ 2- 2) ⁢sin⁡ θ4 ⁢sin⁡ θ⁢( 1-sin ⁡θ)
とする.次の問いに答えよ.
(1) θ が 0 <θ< π2 を満たすとき, r⁡( θ)> 0 となることを示せ.
(2) 自然数 n に対して,
Sn =1+r ⁡(θ )+ r⁡( θ) 2+ ⋯+ r⁡ (θ) n- 1
とする. limn →∞ ⁡ Sn が存在するための θ の値の範囲を求めよ.
(3) x=sin ⁡θ とおく. θ の値が(2)の範囲にあるとき, lim n→∞ ⁡ Sn を x を用いて表せ.
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【3】 n を正の整数とする. 1 から ( 2⁢n +1) までの番号を 1 つずつ書いた (2 ⁢n+ 1) 枚のカードが箱の中に入っている.この箱の中からカードを 1 枚とり出してもとに戻すという試行を 3 回行う.このとき,次の をうめよ.
(1) 3 回の試行でとり出したカードの番号の和が偶数になる確率は ① である.
(2) 3 回の試行でとり出したカードの番号の中で最大のものを X とおく.このとき,
(ⅰ) X が 1 である確率は ② であり, X≦2 となる確率は ③ である.
(ⅱ) r=1 , 2 ,3 , ⋯ ,2 ⁢n+ 1 に対して, X≦r となる確率は ④ であり, X=r となる確率は ⑤ である.
(ⅲ) X の期待値は ⑥ 2⁢n +1 である.
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2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部A方式
【4】 次の をうめよ.
(1) x+y= 1 ,0≦ x≦2 のとき, x-2 ⁢y2 の最小値は ① , 最大値は ② である.
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(2) A⁢ ( 1 - 3 )= (0 1 ) ,A ( 0 1 )= ( -1 3 ) を満たす 2 ×2 行列 A は, A= ③ , A の逆行列 A -1 は, A -1 = ④ である.
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(3) (x 3+ 3 x2 ) 5 を展開したときの定数項( x を含まない項)は ⑤ である.
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(4) k は実数の定数で k≠ 0 とする. a1 =1 , k⁢ an +(2 -k) ⁢a n-1 =1 , ( n=2 , 3 , 4 , ⋯ ) を満たす数列 { an } は, k の値の範囲が ⑥ であるとき収束し, limn →∞ ⁡a n= ⑦ である.
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(5) limh →0 ⁡ 1 h⁢ ∫0 sin⁡h ⁡ (1- 2⁢cos ⁡2⁢ t)⁢ dt の値は ⑧ である.