2007 関西大 理系学部A方式

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2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 C: y=f (x)= xe -x について,次の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) の増減,凹凸を調べて C のグラフをかけ.

(2)  C 上の点 (a ,f (a) ) における接線を l a とし,その方程式を y =ga ( x) とおく. ga (x ) を求めよ.

(3)  a2 の範囲で,直線 la x =-1 x =2 および曲線 C で囲まれた領域の面積 S (a ) を求めよ.また, S( a) を最小にする a の値を求めよ.

2007 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【2】  θ 0 <θ< π 2 を満たす定数とし,

r( θ)= 2- (2 2- 2) sin θ4 sin θ( 1-sin θ)

とする.次の問いに答えよ.

(1)  θ 0 <θ< π2 を満たすとき, r( θ)> 0 となることを示せ.

(2) 自然数 n に対して,

Sn =1+r (θ )+ r( θ) 2+ + r (θ) n- 1

とする. limn Sn が存在するための θ の値の範囲を求めよ.

(3)  x=sin θ とおく. θ の値が(2)の範囲にあるとき, lim n Sn x を用いて表せ.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【3】  n を正の整数とする. 1 から ( 2n +1) までの番号を 1 つずつ書いた (2 n+ 1) 枚のカードが箱の中に入っている.この箱の中からカードを 1 枚とり出してもとに戻すという試行を 3 回行う.このとき,次の   をうめよ.

(1)  3 回の試行でとり出したカードの番号の和が偶数になる確率は である.

(2)  3 回の試行でとり出したカードの番号の中で最大のものを X とおく.このとき,

(ⅰ)  X 1 である確率は であり, X2 となる確率は である.

(ⅱ)  r=1 2 3 2 n+ 1 に対して, Xr となる確率は であり, X=r となる確率は である.

(ⅲ)  X の期待値は 2n +1 である.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(1)  x+y= 1 0 x2 のとき, x-2 y2 の最小値は 最大値は である.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(2)  A ( 1 - 3 )= (0 1 ) A ( 0 1 )= ( -1 3 ) を満たす 2 ×2 行列 A は, A= A の逆行列 A -1 は, A -1 = である.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(3)  (x 3+ 3 x2 ) 5 を展開したときの定数項( x を含まない項)は である.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(4)  k は実数の定数で k 0 とする. a1 =1 k an +(2 -k) a n-1 =1 n=2 3 4 を満たす数列 { an } は, k の値の範囲が であるとき収束し, limn a n= である.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部A方式

2月2日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(5)  limh 0 1 h 0 sinh (1- 2cos 2 t) dt の値は である.