2007　関西大　経済学部Ａ方式MathJax

【１】　$x\text{，}y$はどちらも正の整数であり，

$x^2-y^2={15}^2$

を満たす．このとき，$x\text{，}y$の値の組をすべて求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　座標平面上で与えられた放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)\text{，}\text{（}a>0\text{）}$での接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{①}}$で与えられる．$C$上の点${\mathrm{P}}^{\prime }(b,b^2)\text{，}\text{（}b<0\text{）}$での接線$l^{\prime }$と$l$との交点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{②}},\boxed{\text{③}})$である．$\mathrm{PQ}:{\mathrm{PP}}^{\prime }=1:2$になるのは$b=\boxed{\text{④}}a$のときであり，このとき，さらに$\angle {\mathrm{PQP}}^{\prime }=90°$となるのは$a$の値が$a=\boxed{\text{⑤}}$のときである．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$x$の$4$次式$f(x)=x^4-2x^3+2x^2-x+4$を$x^2-x+1$で割ったときの商は$\boxed{\text{①}}\text{，}$余りは$\boxed{\text{②}}$だから，

${\displaystyle \frac{f(x)}{x^2-x+1}=\boxed{\text{①}}+\frac{\boxed{\text{②}}}{x^2-x+1}}$

と変形できる．$x$が実数全体を動くとき，$t=x^2-x+1$の最小値は$\boxed{\text{③}}$であり，特に$t>0$である．$x$が実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{f(x)}{x^2-x+1}}$の最小値は$\boxed{\text{④}}$であり，そのときの$x$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．