2007 関西大 理系学部S方式

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2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部S方式

2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 すべての自然数 n について, 0< an< 1 となる数列 { an } a 1= 3 4 および漸化式 a n+1 = 1- 1-a n2 n= 1 2 3 を満たしているとする.次の問いに答えよ.

(1)  an= sin2 θn (0< θn < π2 n1 ) とおく. θ1 の値を求め,数列 { θn } の漸化式を導け.

(2) (1)で与えられた数列 { θn } の一般項を求めよ.

(3)  limn 2 2n a n を求めよ.

2007 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部S方式

2月4日実施

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面の原点を O (0 ,0) とし,次の連立不等式の表す領域を D とする.

{ x2 +y 22 y -(1 +2 )x 2

 また, 0t π を満たす t に対して点 P (cos t, sint ) をとる.点 P を固定し,点 Q (x ,y) が領域 D 上を動くときの OP OQ | OP | | OQ | の最大値を f (t ) とする.ここで, OP OQ は,ベクトル OP OQ との内積を表す.このとき,(2),(3)の   をうめ,(1),(4),(5)に答えよ.

(1) 領域 D を解答欄 に図示せよ.

(2) ベクトル OP OQ とのなす角 θ 0 θπ を用いて OP OQ | OP | |OQ | = と表すことができる.

(3)  t= π4 のとき, OP OQ | OP | | OQ | を最大にする点 Q の座標は Q ( , ) であり, f ( π4 ) の値は である.

(4)  f ( π 3 ) f ( 3 4 π ) の値を求めよ.

(5)  0 π f( t) dt の値を求めよ.

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2月4日実施

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【3】 次の   を数値でうめよ.次の放物線 C 1 と楕円 C 2

において, C1 の頂点を A とすると,点 A の座標は ( , ) である.点 B の座標を (1 ,0) とする.放物線 C 1 上の点 P ( x1 ,y1 ) における C 1 の接線 l が直線 AB に平行になっているとする.このとき, x1 = であり,接線 l は点 ( 0, ) を通り,傾きが の直線である.また,直線 l は楕円 C 2 2 Q (0 ,α) R (β ,γ ) で交わる. α β γ の値はそれぞれ

α= β= γ =

である.

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2月4日実施

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【4】 次の   をうめよ.

(1)  2 つの正方行列 A =( 32 a b ) B= ( 0-1 1 0 ) について A B= BA が成り立つとき, a= b = である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2)  a を実数の定数とする. 3 次方程式 x 3-( a+2) x 2+ (2 a+6) x -6 a= 0 の解のうちの 1 つが 2 であるとき, a= であり,他の解は および である.

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2月4日実施

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【4】 次の   をうめよ.

(3) 座標平面上の原点 O を中心とする 150 ° の回転移動によって,点 (a ,1) が点 (- a,1 ) に移されるとき, a=2 + である.(回転の向きは,時計の針と逆の回転方向を正の向きとする.)

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2月4日実施

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【4】 次の   をうめよ.

(4) 曲線 y= |x | (1-| x| ) 上の点 ( 23 ,29 ) における接線と,同じ曲線上の点 ( -23 ,2 9 ) における接線との交点の y 座標の値は である.

2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部S方式

2月4日実施

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【4】 次の   をうめよ.

(5) 不定積分を求めると, 2x 3+3 x2 -8 x-13 x2 -4 dx = +C である.ただし, C は積分定数である.