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2007-14991-0401
2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部S方式
2月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 すべての自然数 n について, 0< an< 1 となる数列 { an } が a 1= 3 4 , および漸化式 a n+1 = 1- 1-a n2 (n= 1 ,2 , 3 , ⋯) を満たしているとする.次の問いに答えよ.
(1) an= sin2 ⁡θn (0< θn < π2 , n≧1 ) とおく. θ1 の値を求め,数列 { θn } の漸化式を導け.
(2) (1)で与えられた数列 { θn } の一般項を求めよ.
(3) limn →∞ ⁡2 2⁢n ⁢a n を求めよ.
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【2】 座標平面の原点を O (0 ,0) とし,次の連立不等式の表す領域を D とする.
{ x2 +y 2≦2 y -(1 +2 )⁢x ≧2
また, 0≦t ≦π を満たす t に対して点 P (cos ⁡t, sin⁡t ) をとる.点 P を固定し,点 Q (x ,y) が領域 D 上を動くときの OP →⋅ OQ→ | OP→ | ⁢| OQ→ | の最大値を f ⁡(t ) とする.ここで, OP→ ⋅ OQ→ は,ベクトル OP → と OQ → との内積を表す.このとき,(2),(3)の をうめ,(1),(4),(5)に答えよ.
(1) 領域 D を解答欄 ① に図示せよ.
(2) ベクトル OP → と OQ → とのなす角 θ ( 0≦ θ≦π ) を用いて OP →⋅ OQ→ | OP→ |⁢ |OQ →| = ② と表すことができる.
(3) t= π4 のとき, OP→ ⋅ OQ→ | OP→ | ⁢| OQ→ | を最大にする点 Q の座標は Q ( ③ , ④ ) であり, f⁡ ( π4 ) の値は ⑤ である.
(4) f ⁡( π 3 ) と f ⁡( 3 4⁢ π ) の値を求めよ.
(5) ∫0 π⁡ f⁡( t)⁢ dt の値を求めよ.
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【3】 次の を数値でうめよ.次の放物線 C 1 と楕円 C 2
において, C1 の頂点を A とすると,点 A の座標は ( ① , ② ) である.点 B の座標を (1 ,0) とする.放物線 C 1 上の点 P ( x1 ,y1 ) における C 1 の接線 l が直線 AB に平行になっているとする.このとき, x1 = ③ であり,接線 l は点 ( 0, ④ ) を通り,傾きが ⑤ の直線である.また,直線 l は楕円 C 2 と 2 点 Q (0 ,α) ,R (β ,γ ) で交わる. α , β ,γ の値はそれぞれ
α= ④ , β= ⑥ ,γ = ⑦
である.
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2007 関西大学 システム理工学部・環境都市工学部・化学生命工学部学部S方式
【4】 次の をうめよ.
(1) 2 つの正方行列 A =( 32 a b ), B= ( 0-1 1 0 ) について A ⁢B= B⁢A が成り立つとき, a= ① ,b = ② である.
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(2) a を実数の定数とする. 3 次方程式 x 3-( a+2) ⁢x 2+ (2⁢ a+6) ⁢x -6 ⁢a= 0 の解のうちの 1 つが 2 であるとき, a= ③ であり,他の解は ④ および ⑤ である.
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(3) 座標平面上の原点 O を中心とする 150 ° の回転移動によって,点 (a ,1) が点 (- a,1 ) に移されるとき, a=2 + ⑥ である.(回転の向きは,時計の針と逆の回転方向を正の向きとする.)
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(4) 曲線 y= |x |⁢ (1-| x| ) 上の点 ( 23 ,29 ) における接線と,同じ曲線上の点 ( -23 ,2 9 ) における接線との交点の y 座標の値は ⑦ である.
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(5) 不定積分を求めると, ∫⁡ 2⁢x 3+3 ⁢x2 -8⁢ x-13 x2 -4 ⁢dx = ⑧ +C である.ただし, C は積分定数である.