2007　関西大　総合情報学部Ｓ方式MathJax

【１】　放物線$C:y=x^2\text{，}{C}^{\prime }:y=-{(x-b)}^2+c$において，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(-1,1)$における$C$の接線$L$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(-1,1)$を通り$L$と垂直に交わる直線$M$の方程式を求めよ．

(3)　$C^{\prime }$の頂点が直線$M$上を動くとき，$C$と$C^{\prime }$が少なくとも$1$つの共通点をもつための$b$の条件を求めよ．

【２】　$n$は自然数とする．サイコロを$n$個同時に投げて，出た目の最小値を$x$とする．

(1)　$n=2$のとき，$x=6$となる確率$p_6$および$x=1$となる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$n=2$のとき$x$の期待値$E$を求めよ．

(3)　次の主張(ア)は正しいか否か，理由をつけて答えよ．

(ア)　任意の$n\geqq 1$に対して，$x$の期待値$E$は

$E={\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{2}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{3}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{6}{6}}\right)}^n$

である．

【３】　次の$2$条件(ア)，(イ)を満たす$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx$を決定したい．

• (ア)　${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx=4$
• (イ)　$y=f(x)\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の最小値は${\displaystyle -\frac{1}{3}}$

次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx$を$a\text{，}b$で表せば，${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)=\boxed{\text{①}}$である．

　条件(ア)より$b$を$a$で表せば，$b=\boxed{\text{②}}$である．

　放物線$f(x)$の軸を$a$で表せば，$x=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$f(x)\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の最小値を与える可能性をもつ$x$の値は$1\text{，}-1\text{，}$および$\boxed{\text{③}}$であるが：

• $f(1)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}⟺a=\boxed{\text{④}}$
• $f(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}⟺a=\boxed{\text{⑤}}$
• $f(\boxed{\text{③}})=-{\displaystyle \frac{1}{3}}⟺a=\boxed{\text{⑥}}$

である．

(3)　一方，$a>0$のときには

$-1\leqq \boxed{\text{③}}\leqq 1⟺a\geqq \boxed{\text{⑦}}$

が成り立つ．

(4)　以上より，(ア)，(イ)を満たす$f(x)$は$\boxed{\text{⑧}}$であると結論できる．

【４】　空間に$3$点$\mathrm{A}(0,1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,2,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,0,2)$がある．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{①}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\boxed{\text{②}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$がある．したがって，ある実数$t$により

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

と表される．

(3)　$\angle \mathrm{BAP}=90°$となるのは$t=\boxed{\text{⑤}}$のときである．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|$となるのは$t=\boxed{\text{⑥}}$のときである．

(5)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$$\text{（}\mathrm{P}\ne \mathrm{B}\text{）}$となるのは$t=\boxed{\text{⑦}}$のときである．