2007　関西大　法学部A方式MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が定数$A\text{，}B$を用いて

$S_n=A{n}^2+Bn\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と表せるとき，次の問いに答えよ．

(1)　第$n$項$a_n$を$A\text{，}B\text{，}n$で表せ．

(2)　$\{a_n\}$は等差数列であることを示せ．

(3)　$\{a_n\}$は公差が$2$で$a_{10}=9$であるとき，$A\text{，}B$の値を求めよ．

【２】　${\displaystyle \frac{a+b}{b-c}=\frac{b+c}{c-a}=\frac{c+a}{a-b}}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a+b+c=0$を示せ．

(2)　${\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$の値を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$a$を定数とする．$2$つの放物線

• $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\cdots$(1)
• $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2ax+a^3-a+1\cdots$(2)

が$2$点で交わるとき，交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とする．$\alpha \text{，}\beta$を解とする$x^2$の係数が$1$である$x$の$2$次方程式の判別式を$D$で表す．$D$は$a$を用いて

$D=4(\boxed{\text{①}})$

と表される．また${(\beta -\alpha )}^2$を$D$を用いて表すと

${(\beta -\alpha )}^2=\boxed{\text{②}}$

である．(1)と(2)で表される$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S(a)$は，$D$を用いて

$S(a)=\boxed{\text{③}}$

と表される．$a$が$-{\displaystyle \frac{3}{2}}<a<1$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{D}{4}}$が極値をとる$a$の値をすべて求めると$a=\boxed{\text{④}}$である．このとき$a=\boxed{\text{⑤}}$で，$S(x)$は最大値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．