2007　関西学院大　理工学部Ｆ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$m$と$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$m$までの番号が$1$つずつ書かれた$m$個のボールを，$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$個の箱に分けて入れる．ただし，ボールが入っていない箱があってもよいものとする．このとき，相異なる入れ方の総数を$a(m,n)$とすると$a(m,n)=\boxed{\text{（ア）}}$である．そのうち，番号$1$の箱に入るボールの個数が$2$個であるような入れ方の総数を$b(m,n)$とすると，$b(m,n)=\boxed{\text{（イ）}}$である．$\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n=e$（自然対数の底）であることに注意すると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b(2n,n)}{a(2n,n)}}=\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　関数$f(x)=x^2{e}^x$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{（エ）}}$である．$f(x)$は$x=\boxed{\text{（オ）}}$のとき極大値$\boxed{\text{（カ）}}$をとる．極大値より小さい整数のうちで最大のものは$\boxed{\text{（キ）}}$である．曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標のうち最も大きいものは$\boxed{\text{（ク）}}$である．

【２】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$について

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}-1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}^{2k}\text{（}-1<x<1\text{）}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_n(x)$を求めよ．また，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$において$0\leqq f_n(x)\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{2n+2}$となることを示せ．

(2)　$-1<x<1$において不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}dx$を求めよ．

(3)　小問(1)を用いて，$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{f}_n(x)dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{3(2n+3)2^{2n+1}}}$を示せ．

(4)　$S={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2k+1}}{({\displaystyle \frac{1}{2}})}^{2k+1}$を求めよ．

【３】　$a$が実数で$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき

$t=\sin \theta +\cos \theta \text{，}f(\theta )=\sin 2\theta -4a\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin 2\theta$と${\displaystyle \cos \frac{\theta }{2}(\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2})}$を$t$で表せ．

(2)　$f(\theta )$を$t$で表せ．また，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$f(\theta )$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．

(4)　$a$が実数全体を動くとき，$M-m$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BO}=5$である$▵\mathrm{OAB}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \angle \mathrm{AOB}$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．また，線分$\mathrm{OC}$の長さ$p$を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{D}$について，線分$\mathrm{BD}$は直線$\mathrm{OC}$に垂直とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．また，線分$\mathrm{OD}$の長さ$q$と線分$\mathrm{BD}$の長さ$r$を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{OBD}\text{，}▵\mathrm{OAB}$をそれぞれ直線$\mathrm{OD}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V\text{，}W$を求めよ．