2007　関西学院大　理工学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない$\boxed{\text{（ア）}}$は$(a,b,c)$の形で答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(2,3,-4)\text{，}\mathrm{B}(3,-2,1)$について，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{（ア）}}$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{（イ）}}$である．また，点$\mathrm{C}(p,q,-3)$が線分$\mathrm{AB}$上にあるとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$1:\boxed{\text{（ウ）}}$に内分して，

$p=\boxed{\text{（エ）}}\text{，}q=\boxed{\text{（オ）}}$

である．さらに，線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$について，線分$\mathrm{OD}$と線分$\mathrm{AB}$が垂直ならば，点$\mathrm{D}$の$z$座標は$\boxed{\text{（カ）}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$a$を定数とするとき，連立$1$次方程式

$\{\begin{array}{l}ax+y=a\\ 9x+ay=3a\end{array}$

を考える．この連立$1$次方程式は$a=\boxed{\text{（キ）}}$のときは解をもたず，$a=\boxed{\text{（ク）}}$のときは無数に多くの解をもつ．その他の場合はちょうど$1$組の解をもち，それは

$x=\boxed{\text{（ケ）}}\text{，}y=\boxed{\text{（コ）}}$

である．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+4n^2-4n-2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$b_1$と$b_2$を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の満たす漸化式を求めよ．

(2)　$c_n=b_{n+1}-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$c_1$を求めよ．また，数列$\{c_n\}$の満たす漸化式を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．また，$a_{n+1}\geqq a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(4)　$a_n$が$3$の倍数ならば$a_n$は$9$の倍数であることを示せ．

【３】　紙の上に相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．ただし，これらは一直線上にはないものとする．表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{）}$で裏の出る確率が$1-p$である$1$枚の硬貨がある．この硬貨を$3$回投げ，その結果にしたがって次のように$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のうちの$2$点を結ぶ線分を鉛筆でかきこむ．

• $1$回目に表が出たら$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を線分で結び，裏が出たら何もかかない．
• $2$回目に表が出たら$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を線分で結び，裏が出たら何もかかない．
• $3$回目に表が出たら$\mathrm{C}$と$\mathrm{A}$を線分で結び，裏が出たら何もかかない．

　このようにしてかいた線分の集まりを道と呼ぶことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　道に沿って$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行くことができる確率を求めよ．

(2)　道に沿って$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$または$\mathrm{C}$に行くことができる確率を求めよ．

(3)　道に沿って$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$にも$\mathrm{C}$にも行くことができる確率を求めよ．

(4)　道に沿って$\mathrm{A}$から行くことができる$\mathrm{A}$以外の点の個数の期待値を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$とおき，曲線$C:y=f(x)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$と$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$C$の変曲点を$\mathrm{A}$とするとき，$\mathrm{A}$の座標を求めよ．また，$\mathrm{A}$における接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ（積分定数は省略してよい）．また，小問(2)における接線$l$を$l:y=ax+b$（ただし，$a\text{，}b$は定数）と表すとき，連立不等式

$y\leqq f(x)\text{，}y\leqq ax+b\text{，}y\geqq 0$

の表す領域$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }{\{f(x)\}}^{2}dx$を求めよ（積分定数は省略してよい）．また，小問(3)における領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．