2007　西南学院大学　経済，国際文化学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$\omega$が$x^2+x+1=0$の解の$1$つであるとき，次の(1)，(2)，(3)の式の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{{\omega }^8}+\frac{1}{{\omega }^4}}=\boxed{\text{アイ}}$

(2)　$2{\omega }^{300}+{\omega }^{200}+{\omega }^{100}+1=\boxed{\text{ウ}}$

(3)　${({\omega }^{200}+1)}^{100}+{({\omega }^{100}+1)}^{10}+2=\boxed{\text{エ}}$

【１】

2.　$1$から$6$までの目の出るサイコロを$2$回ふって，$1$回目に出た目の値を$p\text{，}$回目に出た目の値を$q$とし，$2$次方程式

$x^2-px+q=0$

を作る．この方程式の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，次の(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)　$\alpha +\beta =\alpha \beta$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　$\alpha$と$\beta$がともに整数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

(3)　$\alpha \beta (\alpha +\beta )$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

【２】

1.　角$\theta$が$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$を満たすとき，

$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}{\sin }^6\theta +{\cos }^6\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$

である．

【２】

2.　$▵\mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{P}$について，

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+5\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

という関係があり，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，

$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\boxed{\text{テ}}:\boxed{\text{ト}}\text{，}\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=\boxed{\text{ナ}}:\boxed{\text{ニ}}$

であり，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=1\text{，}▵\mathrm{BAC}=60°$のとき，辺$\mathrm{AD}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヌネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【３】　$a\text{，}b$を実数の定数とする．$3$次関数${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^3+2a+\frac{16}{3}}$のグラフと$2$次関数$y=x^2+(b-4)x+1$のグラフは交点をもち，そのうちの$1$つの交点では$2$つの曲線の接線は同一になり，その接線は点$(0,2a)$を通る．このとき，定数$a\text{，}b$の値および共通接線の方程式を求めよ．