2007　西南学院大学　神，商，人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=7x-1$が$x$についての恒等式として成立するとき，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値は，

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウエ}}$

である．

【１】

1.　次の(1)，(2)に答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{x^2+3x+5}{x^3+4x^2+5x+2}=\frac{p}{x+2}-\frac{qx-r}{{(x+1)}^2}}$が$x$についての恒等式として成立するとき，定数$p\text{，}q\text{，}r$の値は，

$p=\boxed{\text{オ}}\text{，}q=\boxed{\text{カ}}\text{，}r=\boxed{\text{キ}}$

である．

【１】

2.　$20$から$500$までの自然数のうちで，$7$で割ると$2$余る数の個数は$\boxed{\text{クケ}}$個であり，$7$で割っても$3$で割っても$2$余る数の個数$\boxed{\text{コサ}}$個であり，$7$で割っても$3$で割っても$2$余る数で$1$の位の数と$10$の位の数が等しいものの個数は$\boxed{\text{シ}}$個である．

【２】

1.　次の(1)，(2)の式の値を求めよ．

(1)　$({\log }_{3}125+{\log }_{9}5){\log }_{5}3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

(2)　${27}^{{\log }_{3}4}=\boxed{\text{ソタ}}$

【２】

2.　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{(n+2)a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)　$a_5={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$として$b_n$の一般項を求めると，

$b_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(n^2+\boxed{\text{ト}}n+\boxed{\text{ナ}})$

である．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{a}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$である．

【３】　$k$を正の定数として，$x$の$2$次関数$y=x^2+k^2$について，次の(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)　$y=x^2+k^2$の接線のうち原点を通る直線の方程式と接点の座標を求めよ．

(2)　$y=x^2+k^2$のグラフと原点を通る$2$本の接線とで囲まれる部分の面積を$k$を用いて表せ．

(3)　$x$軸に平行な直線が(2)で求めた面積を$2$等分するとき，その直線の方程式を$k$を用いて表せ．