2008 大学入試センター試験 本試験 数学I/数学IA

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2008 大学入試センター試験 本試

数学I

[2]とあわせて配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[1] 連立方程式

{ x2y =−1 2x5 y=6

の解は

x= アイ + 6 y= エオ +6

である. xy がこの値のとき

2 |x| |y| = +6

であるから, m 2| x| |y | <m+1 を満たす整数 m である.

2008 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通問題

ただし数学IAの番号は【1】〔1〕

数学IAでは解答記号はアイ,ウエ,オカ,キ,ク

数学Iは[1]とあわせて配点25点

数学IAは〔2〕とあわせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

[2] 長方形 ABCD において, AB=CD=8 BC=DA =12 とする.辺 AB 上に点 P ,辺 BC 上に点 Q CD 上に点 R

AP=BQ=CR

となるようにとり, AP=x とおく (0<x <8) .このとき,台形 PBCR の面積は ケコ である.また, PQR の面積 S

S=x2 サシ x+ スセ

である. S<24 となる x の範囲は

<x<

である.

2008 大学入試センター試験 本試

数学I・数学IA共通

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  ab を定数とし, a0 とする. 2 次関数

y=ax 2bx a+b

のグラフが点 (−2,6) を通るとする.このとき

b=a+

であり,グラフの頂点の座標を a を用いて表すと

( a+ a , ( a )2 a )

である.

 さらに, 2 次関数 のグラフの頂点の y 座標が −2 であるとする.このとき, a

a2 クケ a+ =0

を満たす.これより, a の値は

a=

である.

 以下, a= であるとする.このとき, 2 次関数 のグラフの頂点の x 座標は であり, のグラフと x 軸の 2 交点の x 座標は である.ただし, は解答の順序を問わない.

 また,関数 0x9 において

x= のとき,最小値 ツテ をとり

x= のとき,最大値 ナニ をとる.

2008 大学入試センター試験 本試

数学I

配点30点

数学IA【3】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=7 BC=42 ABC= 45° とする.また, ABC の外接円の中心を O とする.

 このとき, CA= であり,外接円 O の半径は である.

 下の には,次の 0 3 のうちから当てはまるものを一つ選べ.



 外接円 O の点 A を含まない弧 BC 上に点 D ABD CBD の面積比が 7:2 であるようにとる.このとき, BAD= BCD であるから, ABD CBD の面積比は

ABAD CD

の比に等しい.このことより

AD= CD

である.また, ADC において ADC= クケ ° であるから

CD= AD= シス

である.

 点 C から辺 AD に下ろした垂線を CH とすると

CH= セソ

であり, ADC を直線 AD を軸として 1 回転してできる立体の体積は

テト π

である.

2008 大学入試センター試験 本試

数学I

配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  P=x(x +3)( 2x3 ) とする.また, a を定数とする.

(1)  x=a+1 のときの P の値は

2a3+ a2 + a

である.

(2)  x=a+1 のときの P の値と, x=a のときの P の値が等しいとする.このとき, a

3a2 + a =0

を満たす.したがって

a= カキ ± クケ

である.

 とくに

x= カキ クケ +1

のときの P の値と

x= カキ クケ

のときの P の値は等しく,その値は

+ シス セソ

である.

2008 大学入試センター試験 本試

数学IA

〔1〕とあわせて配点20点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 次の に当てはまるものを,下の 0 3 のうちから一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.

 自然数 mn について,条件 pqr を次のように定める.

 また,条件 p の否定を p ,条件 r の否定を r で表す.このとき

p r であるための

p r であるための

p かつ q 」は r であるための

p または q 」は r であるための

2008 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点30点

数学I【3】の類題

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=7BC =42 ABC= 45° とする.また, ABC の外接円の中心を O とする.

 このとき, CA= であり,外接円 O の半径は である.

 外接円 O 上の点 A を含まない弧 BC 上に点 D CD=10 であるようにとる. ADC= オカ ° であるから, AD=x とすると x 2 次方程式

x2 x ケコ = 0

を満たす. x>0 であるから AD= となる.

 下の には,次の 0 5 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.



 点 A における外接円 O の接線と辺 DC の延長の交点を E とする.このとき, CAE= E であるから, ACE D は相似である.これより

EA= EC

である.また, EA2= EC である.したがって

EA= テト

であり, ACE の面積は ヌネ である.

2008 大学入試センター試験 本試

数学IA

配点25点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】 さいころを 3 回投げ,次の規則にしたがって文字の列を作る.ただし,何も書かれていないときや文字が 1 つだけのときも文字の列と呼ぶことにする.

  1 回目は次のようにする.

  2 回目, 3 回目は次のようにする.

 以下の問いでは,さいころを 3 回投げ終わったときにできる文字の列について考える.

(1) 文字の列が AAA となるさいころの目の出方は 通りである.

 文字の列が AB となるさいころの目の出方は 通りである.

(2) 文字の列が A となる確率は エオ であり,何も書かれていない文字の列となる確率は キク である.

(3) 文字の列の字数が 3 となる確率は コサ であり,字数が 2 となる確率は スセ である.また,文字の列の字数の期待値は ソタ である.ただし,何も書かれていないときの字数は 0 とする.