2008　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　方程式

$\left|\right(\sqrt{14}-2)x+2|=4$

の解は

$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{14}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}+\sqrt{14}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．また

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{14}}{\boxed{\text{ウ}}}}<n<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}+\sqrt{14}}{\boxed{\text{オ}}}}$

を満たす整数$n$の個数は$\boxed{\text{カ}}$個である．

【１】

［２］　$a$を定数とする．$2$次方程式

$2x^2+(3a-1)x+a^2-2a+3=0$$\cdots \text{①}$

が実数の解をもつのは

$a^2+\boxed{\text{キク}}a-\boxed{\text{ケコ}}\geqq 0$

のときである．

　$a>0$のとき，$2$次方程式$\text{①}$が重解をもつ$a$の値は

$a=\boxed{\text{サシ}}+\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

である．このとき，$2$次方程式$\text{①}$の解は

$x=\boxed{\text{ソ}}-\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

である．

【２】　$a$を定数とする．$2$次関数

$y=x^2-6ax+10a^2-2a-8\cdots \text{①}$

のグラフの頂点の座標を$a$を用いて表すと

$(\boxed{\text{ア}}a,a^2-\boxed{\text{イ}}a-\boxed{\text{ウ}})$

である．

(1)　$2$次関数$\text{①}$のグラフが異なる$2$点で$x$軸と交わるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{エオ}}<a<\boxed{\text{カ}}$

である．

　さらに，$\text{①}$のグラフが異なる$2$点で$x$軸の正の部分と交わるような$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{キ}}<a<\boxed{\text{ク}}$

である．

　また，$2$次関数$\text{①}$のグラフが異なる$2$点で$x$軸の正の部分と交わり，$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に$-4\text{，}y$軸方向に$19$だけ平行移動して得られるグラフの頂点が放物線$y=x^2$上にあるとき

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

(2)　$2$次関数$\text{①}$のグラフが点$(2a,0)$を通るとき，$a$の値は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{シス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であるとき，関数$\text{①}$の$6\leqq x\leqq 9$における最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}-\sqrt{\boxed{\text{チツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

であり，最大値は

$\boxed{\text{トナ}}-\boxed{\text{ニヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネノ}}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$とし，辺$\mathrm{CA}$の$\mathrm{A}$の側の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$となるようにとる．

　このとき，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{アイ}}°$であるから，$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．このことより，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{カ}}$である．よって，$▵\mathrm{ADB}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}$

である．

　さらに，$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とすると，$\mathrm{AH}=\boxed{\text{サ}}\text{，}$$\mathrm{CH}=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と$\mathrm{CH}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とすると

$\mathrm{EH}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

　次に，線分$\mathrm{AB}$を折り目として$▵\mathrm{DBC}$を折り曲げて，$▵\mathrm{ADB}$を底面とし，$4$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$を考える．頂点$\mathrm{C}$から底面$\mathrm{ADB}$に下ろした垂線が$\mathrm{E}$を通るとき，三角錐$\mathrm{CADB}$の高さ$\mathrm{CE}$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【４】　$a\text{，}$$b$を定数として，整式

$P=x^4+2x^3-4x^2+ax+b$

を考える．

　$x=X-2$とおくと

$x^3=X^3-\boxed{\text{ア}}{X}^2+\boxed{\text{イウ}}X-\boxed{\text{エ}}$

$x^4=X^4-\boxed{\text{オ}}{X}^3+\boxed{\text{カキ}}{X}^2$$-\boxed{\text{クケ}}X+\boxed{\text{コサ}}$

である．このことから

$P=X^4-\boxed{\text{シ}}{X}^3+\boxed{\text{ス}}{X}^2+mX+n$

となる．ここで

$\{\begin{array}{l}m=a+\boxed{\text{セ}}\\ n=\boxed{\text{ソタ}}a+b-\boxed{\text{チツ}}\end{array}$

である．

　$m=0\text{，}$$n=0$ならば

$a=\boxed{\text{テト}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ナ}}$

である．このとき

$P=X^2(X^2-\boxed{\text{シ}}X+\boxed{\text{ス}})$

となる．$X^2\geqq 0$であるから，$P$の値が正となるのは

$X\ne 0$かつ$X^2-\boxed{\text{シ}}X+\boxed{\text{ス}}>0$$\cdots \text{①}$

のときである．

　$\text{①}$を満たす$X$の範囲は

$X<\boxed{\text{ニ}}\text{，}$$\boxed{\text{ヌ}}<X<\boxed{\text{ネ}}\text{，}$$\boxed{\text{ノ}}<X$

である．これより，$P$の値が正となる$x$の範囲もただちに求まる．

【１】

〔２〕　次の$\boxed{\text{キ}}\text{〜}$$\boxed{\text{ケ}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

　$2$以上の自然数$a\text{，}b$について，集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を次のように定める．

$\mathrm{A}=\{x|x\text{は}a\text{の正の約数}\}$

$\mathrm{B}=\{x|x\text{は}b\text{の正の約数}\}$

　このとき

(ⅰ)　$\mathrm{A}$の要素の個数が$2$であることは，$a$が素数であるための$\boxed{\text{キ}}$．

(ⅱ)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\{1,2\}$であることは，$a$と$b$がともに偶数であるための$\boxed{\text{ク}}$．

(ⅲ)　$a\leqq b$であることは，$\mathrm{A}\subset \mathrm{B}$であるための$\boxed{\text{ケ}}$．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件でない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件でない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$とする．また，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．

　このとき，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{アイ}}°$であり，外接円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

　さらに，辺$\mathrm{CA}$の$\mathrm{A}$の側の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$となるようにとる．$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であるから，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ケ}}$である．よって，$▵\mathrm{ADB}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

である．

　下の$\boxed{\text{ソ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから当てはまるものを一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{AFO}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{ADF}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{ABE}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{OAC}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{EBF}$

　線分$\mathrm{BD}$と外接円$O$との$\mathrm{B}$以外の交点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{DO}$と外接円$O$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，外接円$O$において

$\angle \mathrm{AOF}=\boxed{\text{セ}}\angle \mathrm{ABF}=\angle \boxed{\text{ソ}}$

である．したがって，$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$は同一円周上にある．この円の中心を$O^{\prime }$とすると，円$O^{\prime }$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

【４】　大小$2$個のさいころを$1$回投げ，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．$2$次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$a-b$だけ平行移動したグラフを$G$とする．このとき，次のように得点を定める．

・$G$と$x$軸の正の部分の共有点がないときは$0$点

・$G$と$x$軸の正の部分の共有点が$1$個のときは$1$点

・$G$と$x$軸の正の部分の共有点が$2$個のときは$2$点

(1)　$a>b$のとき，得点は$\boxed{\text{ア}}$点である．

　$a=b$のとき，得点は$\boxed{\text{イ}}$点である．

(2)　大小$2$個のさいころを$1$回投げたとき

$a=1$で，かつ得点が$1$点である場合の数は$\boxed{\text{ウ}}$通り

$a=2$で，かつ得点が$0$点である場合の数は$\boxed{\text{エ}}$通り

$a=2$で，かつ得点が$1$点である場合の数は$\boxed{\text{オ}}$通り

である．

(3)　大小$2$個のさいころを$1$回投げたとき

得点が$0$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$

得点が$1$点である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

である．また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$点である．