2008　北海道大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面において，放物線$y=-x^2+6x$と$x$軸で囲まれた図形に含まれ，$(a,0)$と$(a,-a^2+6a)$を結ぶ線分を一辺とする長方形を考える．ただし，$0<a<3$とする．このような長方形の面積の最大値を$S(a)$とする．

(1)　$S(a)$を$a$の式で表せ．

(2)　$S(a)$の値が最大となる$a$を求め，関数$S(a)$のグラフをかけ．

【２】　$a$を定数とする．$xy$平面上の点の集合$X(a)\text{，}L$を次のように定める．

• $X(a)=\{(x,y)|{(x-a)}^2+y^2\leqq {\displaystyle \frac{{(a+1)}^2}{4}}\}$
• $L=\{(x,y)|y=x-1\}$

(1)　$X(a)\cap L=\varphi$となるような$a$の値の範囲を求めよ．（ただし，$\varphi$は空集合を表す．）

(2)　いかなる実数$a$に対しても$\mathrm{P}\notin X(a)$となるような点$\mathrm{P}$の集合を求め，$xy$平面上に図示せよ．

【３】　$k$を実数とし，$a_1=0\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=k{a}_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）で数列$\left\{a_n\right\}$を定める．

(1)　$k=2$のとき，一般項$a_n$を求めよ．

(2)　すべての$n$について$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)$を満たす$\alpha \text{，}\beta$に対して，$\alpha +\beta =k\text{，}\alpha \beta =1$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)において，異なる実数$\alpha$と$\beta$が存在するための$k$の条件を求め，そのときの$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

【４】　$1$から$6$までの目が等しい確率で出るさいころを$4$回投げる試行を考える．

(1)　出る目の最小値が$1$である確率を求めよ．

(2)　出る目の最小値が$1$で，かつ最大値が$6$である確率を求めよ．

【１】　$\alpha \text{，}\beta$を$0<\alpha <\beta <2$を満たす実数とし，$0\leqq x\leqq 2$の範囲で定義された関数$f(x)$を

$f(x)=|(x-\alpha )(x-\beta )|$

とする．

(1)　$f(x)$の最大値を$M$とする．$f(x)=M$となる$x$がちょうど$3$つあるとき，実数$\alpha \text{，}\beta$と$M$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\alpha \text{，}\beta$について，$f(x)-mx=0$が異なる$3$つの解をもつような実数$m$の値の範囲を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$に対して，$A$の$n$乗を$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$と表す．

(1)　$a_n=d_n$と$b_n=c_n$を示せ．

(2)　$n$が奇数ならば$a_n$は偶数であること，および，$n$が偶数ならば$a_n$は奇数であることを示せ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{3x^2}{2x^2+1}}$

とする．

(1)　$0<x<1$ならば，$0<f(x)<1$となることを示せ．

(2)　$f(x)-x=0$となる$x$をすべて求めよ．

(3)　$0<\alpha <1$とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=\alpha \text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots$）

とする．$\alpha$の値に応じて，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$xyz$空間の原点$\mathrm{O}$と，$\mathrm{O}$を中心とし半径$1$の球面上の異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を考える．点$\mathrm{A}{\displaystyle (\cos \frac{\alpha }{2},\sin \frac{\alpha }{2},0)}\text{，}\mathrm{B}{\displaystyle (\cos (-\frac{\alpha }{2}),\sin (-\frac{\alpha }{2}),0)}\text{，（}0<\alpha <\pi$）とする．点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は$\angle \mathrm{COA}=\angle \mathrm{COB}=\angle \mathrm{DOA}=\angle \mathrm{DOB}$を満たし，点$\mathrm{C}$の$z$座標は正，点$\mathrm{D}$の$z$座標は負とする．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$\alpha$と$\theta =\angle \mathrm{COA}\text{（}0<\theta <\pi$）で表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の相異なる$2$つのベクトルのなす角がすべて等しいとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【５】　関数$f(x)$と$g(x)$を$0\leqq x\leqq 1$の範囲で定義された連続関数とする．

(1)　

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x+t}f(t)dt$

を満たす$f(x)$は定数関数$f(x)=0$のみであることを示せ．

(2)　

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x+t}g(t)dt+x$

を満たす$g(x)$を求めよ．