Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2008年度一覧へ
大学別一覧へ
北海道大学一覧へ
2008-10001-0201
2008 北海道大学 後期
理系学部
易□ 並□ 難□
【1】 2 次正方行列 A , E ,O を
A=( 1 a 02 ) ,E= ( 10 0 1) ,O= (0 0 00 )
とする.ただし, a は実数とする.
(1) A⁢X −X⁢ A=O となる 2 次正方行列 X に対して, X=s⁢ E+t⁢ A となる実数 s , t が存在することを示せ.
(2) 1 と異なる数 k と O と異なる 2 次正方行列 Y が, A⁢Y −k⁢ Y⁢A= O を満たすとする.このような k と Y をすべて求めよ.
2008-10001-0202
【2】 関数 y= sin⁡x のグラフ上に 3 点 P (x 1,sin ⁡x1 ), Q( x2, sin⁡x 2) ,(0< x1< x2< π )と R (π, 0) を取る.原点を O とし,四角形 OPQR の面積を S とする.
(1) 方程式 x⁢ cos⁡x+ sin⁡x= 0 は 0< x<π の範囲で解を 1 つだけもつことを示せ.
(2) (1)で得られた解を a とおき, Q を (a ,sin⁡a ) に固定し,点 P を動かす.このとき S が最大となる x 1 とその最大値 S a を a を用いて表せ.
2008-10001-0203
【3】 右図のように水深 h が一定勾配で浅くなる海がある.位置 x における水深は h⁡ (x)= h0− a⁢x で与えられる.ただし, a> 0, h0 >0 とする.時刻 t= 0 のとき,位置 x= 0 で津波が発生した.時刻 t での津波の進行速度 d⁢x d⁢t は g⁢ h⁡(x ) に等しいことが知られている.ここで g は正の定数である.津波が位置 x に到達する時刻を t⁡ (x) とする.
(1) d ⁢td ⁢x を x で表せ.
(2) 津波が水深 h= d となる位置に到達する時刻 T d および T= limd →0 ⁡T d を求めよ.ただし, d は 0 <d< h0 とする.また時刻 T2 での津波の位置の座標を求めよ.
2008-10001-0204
【4】 袋の中に 1 から 4 までの数を 1 つずつ記した 4 つの玉が入っている.それらをよく混ぜて袋の中から玉を 1 つ取り出す試行を 3 回行う.ただし, 1 度取り出した玉はもとへ戻すものとする.取り出した玉に書かれた数字を順に a , b ,c とする.このとき xy 平面で 3 点 A (a, 0) ,B (b, 1) ,C (0, c) を考え,線分 AB , BC ,CA で囲まれた図形の面積を S とする.
(1) S を a , b ,c を使って表せ.
(2) S=0 となる確率を求めよ.
(3) S≧5 となる確率を求めよ.