2008　北海道大学　後期MathJax

【１】　$2$次正方行列$A\text{，}E\text{，}O$を

$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 2\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

とする．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$AX-XA=O$となる$2$次正方行列$X$に対して，$X=sE+tA$となる実数$s\text{，}t$が存在することを示せ．

(2)　$1$と異なる数$k$と$O$と異なる$2$次正方行列$Y$が，$AY-kYA=O$を満たすとする．このような$k$と$Y$をすべて求めよ．

【２】　関数$y=\sin x$のグラフ上に$3$点$\mathrm{P}(x_1,\sin x_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,\sin x_2)\text{，（}0<x_1<x_2<\pi$）と$\mathrm{R}(\pi ,0)$を取る．原点を$\mathrm{O}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とする．

(1)　方程式$x\cos x+\sin x=0$は$0<x<\pi$の範囲で解を$1$つだけもつことを示せ．

(2)　(1)で得られた解を$a$とおき，$\mathrm{Q}$を$(a,\sin a)$に固定し，点$\mathrm{P}$を動かす．このとき$S$が最大となる$x_1$とその最大値$S_a$を$a$を用いて表せ．

【３】　右図のように水深$h$が一定勾配で浅くなる海がある．位置$x$における水深は$h(x)=h_0-ax$で与えられる．ただし，$a>0\text{，}{h}_0>0$とする．時刻$t=0$のとき，位置$x=0$で津波が発生した．時刻$t$での津波の進行速度${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$は$\sqrt{gh(x)}$に等しいことが知られている．ここで$g$は正の定数である．津波が位置$x$に到達する時刻を$t(x)$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{dt}{dx}}$を$x$で表せ．

(2)　津波が水深$h=d$となる位置に到達する時刻$T_d$および$T=\underset{d\to 0}{\lim }{T}_d$を求めよ．ただし，$d$は$0<d<h_0$とする．また時刻${\displaystyle \frac{T}{2}}$での津波の位置の座標を求めよ．

【４】　袋の中に$1$から$4$までの数を$1$つずつ記した$4$つの玉が入っている．それらをよく混ぜて袋の中から玉を$1$つ取り出す試行を$3$回行う．ただし，$1$度取り出した玉はもとへ戻すものとする．取り出した玉に書かれた数字を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．このとき$xy$平面で$3$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(b,1)\text{，}\mathrm{C}(0,c)$を考え，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$で囲まれた図形の面積を$S$とする．

(1)　$S$を$a\text{，}b\text{，}c$を使って表せ．

(2)　$S=0$となる確率を求めよ．

(3)　$S\geqq 5$となる確率を求めよ．