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2008 室蘭工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  a b を定数とし, a>0 とする.関数 f (x)

f(x )=x2 -2 ax+ b

と定める.また,放物線 y= f(x ) の頂点は放物線 y= 12 (x -1)2 上にあるとする.

(1)  b a を用いて表せ.

(2)  2 つの放物線 y= f(x )y =-x2 +2 x がただ 1 つの共有点をもつとする.このとき, a の値を求めよ.

(3) (2)の条件のもとで,共有点の x 座標を p とする.このとき,放物線 y= f(x ) と直線 x= p および x 軸, y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

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【2】 関数 f (x)= e-x |sin x | について以下の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.

(1) 方程式 f (x)= 0 x 0 における解を,小さい方から順に p q r とする.このとき, p q r の値をそれぞれ求めよ.

(2) 区間 px q における関数 f (x) の最大値を h1 とし,区間 q xr における関数 f (x) の最大値を h2 とする.このとき, h 2h1 を求めよ.

(3) 区間 p xq において,曲線 y= f(x ) x 軸とで囲まれた図形の面積を S1 とする.また,区間 q xr において,曲線 y= f(x ) x 軸とで囲まれた図形の面積を S2 とする.このとき, S 2S1 =h 2h1 であることを示せ.

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【3】 数列 {an } が次の条件を満たすとする.

a1= 1 a2 =6 an +2= 6a n+1 -9a n n=1 2 3

(1)  bn= an+ 1-3 an とおくとき,数列 {bn } の一般項を求めよ.

(2) 数列 {an } の一般項を求めよ.

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【4】 平面上の異なる 3 O A B について, |OA | =1 | OB |=2 かつ OA OB のなす角は 60 ° とする.また,点 P OP = OB+ tOA t は実数)と定める.

(1) 四角形 OAQP が平行四辺形となるように点 Q を定める.このとき, |OQ | t を用いて表せ.

(2) 直線 OQ と,点 A から直線 OQ に下ろした垂線との交点を H とする.このとき, | AH | t を用いて表せ.

(3)  |AH | が最大となるような t の値を求めよ.また,そのときの | AH | を求めよ.

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【5】 座標平面上の点 (x0 ,y0 ) は原点 O とは異なるとする.

(1) 実数 a b に対して A= (a -b ba ) と定める.このとき, A( x0 y0 )=( x0 y0 ) ならば A=( 1 00 1 ) であることを示せ.

(2) 実数 p q r s に対して B= (p -q qp ) C=( r -s sr ) と定める.また,座標平面上の点 ( x1, y1 ) ( x1 y1 )= B ( x0 y0 ) と定める.行列 C C ( x1 y1 )=( x0 y0 ) を満たすとき, C p q を用いて表せ.

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