2008 旭川医科大学 後期

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2008 旭川医科大学 後期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】 空間の 4 A (1, 2,3) B( 2,3, 1) C( 3,1, 2) D( 1,1, 1) に対し, 2 A B を通る直線を l 2 C D を通る直線を m とする.次の問いに答えよ.

問1  l m のベクトル方程式を求めよ.

問2  l m は交わらないことを示せ.

問3  l m のどちらにも直交する直線を n とするとき, l n の交点 E の座標および m n の交点 F の座標を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  n 2 以上の自然数とする. xn (x 1) (x2 ) で割った商を g (x) 余りを r (x) とする.次の問いに答えよ.

問1  r(x ) を求めよ.

問2  (x n1 2 n1 )+( xn 2 2n2 )+ +(x 2)= (x2 )g(x ) が成り立つことを示せ.

問3  xm 2m=( x2) (xm 1+2 xm2 ++2 m2 x+2 m1 ) m は自然数)であることを用いて, g(x ) x nk k =2 3 n )の係数を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x) =x logx x >1 )について,次の問いに答えよ.

問1  y=f (x) の増減,グラフの凹凸を調べ,グラフの概形を描け.

問2  x 軸上の点 P (a, 0) を通り曲線 y= f(x ) に接する直線が, 2 本引けるように, a の値の範囲を定めよ.

2008-10010-0104(解答は川村先生サイトで)

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易□ 並□ 難□

【4】 座標平面上に t を媒介変数として

x=cos t+cos 2t y =sint +sin2 t 0 tπ

で表される曲線 C がある.次の問いに答えよ.

問1  x(t )=cos t+cos 2t y( t)=sin t+sin 2t 0 <t<π )とおく. x(t ) t= a で極値をとり, y( t) t= b t=c b< c )で極値をとるとき,

(1)  x(a ) および y (a) の値を求めよ.

(2)  4 つの値 π3 a b c の大小を調べよ.

問2 不定積分 y (t) x (t) dt を求めよ.

問3 曲線 C y 軸とで囲まれる図形の面積 S を求めよ.