2008　東北大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とし，

$f(x)=x^3+(2a-4)x^2+(a^2-4a+4)x$

とおく．方程式$f(x)$が$2$つの異なる実数解をもつとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$y=f(x)$の極大値をあたえる$x$について，点$(x,f(x))$が$xy$平面上にえがく図形を図示せよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$を実数とする．多項式

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をすべてみたすとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$の値を求めよ．

• (ⅰ)　$x^{4}f{\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)}=f(x)$
• (ⅱ)　$f(1-x)=f(x)$
• (ⅲ)　$f(1)=1$

【３】　平面上の$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$は$\angle \mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1=90°\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1=1\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$をみたすとする．${\mathrm{A}}_2$から${\mathrm{OA}}_1$へ垂線をおろし，交点を${\mathrm{A}}_3$とする．${\mathrm{A}}_3$から${\mathrm{OA}}_2$へ垂線をおろし，交点を${\mathrm{A}}_4$とする．以下同様に，$k=4\text{，}5\text{，}\cdots$について，${\mathrm{A}}_k$から${\mathrm{OA}}_{k-1}$へ垂線をおろし，交点を${\mathrm{A}}_{k+1}$として，順番に${\mathrm{A}}_5\text{，}{\mathrm{A}}_6\text{，}\cdots$を定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots$）を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{h_k}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}}$とおくとき，自然数$n$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}$を求めよ．ただし，$\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}$は$\overrightarrow{h_k}$と$\overrightarrow{h_{k+1}}$の内積を表す．

【４】　点$\mathrm{P}$が次のルール(ⅰ)，(ⅱ)に従って数直線上を移動するものとする．

• (ⅰ)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の目が同じ割合で出るサイコロを振り，出た目の数を$k$とする．$\mathrm{P}$の座標$a$について，$a>0$ならば座標$a-k$の点へ移動し，$a<0$ならば座標$a+k$の点へ移動する．
• (ⅱ)　原点に移動したら終了し，そうでなければ(ⅰ)を繰り返す．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標が$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6$のいずれかであるとき，ちょうど$2$回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標が$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6$のいずれかであるとき，ちょうど$3$回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$の座標が$7$であるとき，ちょうど$n$回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．

【１】　多項式$f\left(x\right)$について，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を考える．

• (ⅰ)　$x^{4}f{\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)}=f(x)$
• (ⅱ)　$f(1-x)=f(x)$
• (ⅲ)　$f(1)=1$

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　条件(ⅰ)をみたす多項式$f(x)$の次数は$4$以下であることを示せ．

(2)　条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をすべてみたす多項式$f(x)$を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．平面上の$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$は$\angle \mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1=90°\text{，}{\mathrm{OA}}_1=1\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$をみたすとする．${\mathrm{A}}_2$から${\mathrm{OA}}_1$へ垂線をおろし，交点を${\mathrm{A}}_3$とする．${\mathrm{A}}_3$から${\mathrm{OA}}_2$へ垂線をおろし，交点を${\mathrm{A}}_4$とする．以下同様に，$k=4\text{，}5\text{，}\cdots$について，${\mathrm{A}}_k$から${\mathrm{OA}}_{k-1}$へ垂線をおろし，交点を${\mathrm{A}}_{k+1}$として，順番に${\mathrm{A}}_5\text{，}{\mathrm{A}}_6\text{，}\cdots$を定める．$\overrightarrow{h_k}=\overrightarrow{{\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots$のとき，ベクトル$\overrightarrow{h_k}$と$\overrightarrow{h_{k+1}}$の内積$\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}$を$n$と$k$で表せ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}$とおくとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．ここで，自然対数の底$e$について，$e=\underset{n\to \infty }{\lim }{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$であることを用いてもよい．

【３】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$の範囲にある実数とし，空間の$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$かつ$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\theta$をみたすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{AG}$と$\mathrm{OG}$をそれぞれ$\theta$で表せ．

(2)　$\theta$を動かしたとき，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}$が次のルール(ⅰ)，(ⅱ)に従って数直線上を移動するものとする．

• (ⅰ)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の目が同じ割合で出るサイコロを振り，出た目の数を$k$とする．$\mathrm{P}$の座標$a$について，$a>0$ならば座標$a-k$の点へ移動し，$a<0$ならば座標$a+k$の点へ移動する．
• (ⅱ)　原点に移動したら終了し，そうでなければ(ⅰ)を繰り返す．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標が$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6$のいずれかであるとき，ちょうど$3$回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標が$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6$のいずれかであるとき，ちょうど$m$回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$の座標が$8$であるとき，ちょうど$n$回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．

【５】　$a$を実数として，$2$次の正方行列$A\text{，}B$を次のように定める．

$A=\left(\begin{array}{cc}1& a+1\\ 0& \mathrm{-1}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 2& -a\end{array}\right)$

　このとき，${((\cos t)A+(\sin t)B)}^2=O$をみたす実数$t$が存在するような$a$の範囲を定めよ．ただし，$O$は零行列とする．

【６】　$k>1$として，$f(x)=x^2+2kx$とおく．曲線$y=f(x)$と円$C:x^2+y^2=1$の$2$つの交点の内で，第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}$とし，第$3$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\mathrm{-1},0)$に対して，$\alpha =\angle \mathrm{AOP}\text{，}\beta =\angle \mathrm{BOQ}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$を$\alpha$で表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と円$C$で囲まれる$2$つの図形の内で，$y=f(x)$の上側にあるものの面積$S(k)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．

(3)　$\underset{k\to \infty }{\lim }S(k)$を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部