2008　東北大学　後期MathJax

【１】　$a$を$0\leqq a\leqq 1$の範囲にある実数とするとき，$y=|x-a|+|x-1|$のグラフと直線$y=x$の交点の個数と交点の座標を求めよ．

【２】　$a$と$b$を実数とし，曲線$C:y=x^2+2ax+b$と平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(2,4)\text{，}\mathrm{Q}(2,5)\text{，}\mathrm{R}(0,1)$を頂点とする平行四辺形を考える．直線$\mathrm{OP}$は曲線$C$の接線であり，その接点は線分$\mathrm{OP}$上にあるとする．曲線$C$の上側と平行四辺形$\mathrm{OPQR}$の内部の共通部分の面積を$S(a)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$が線分$\mathrm{OR}$と交わるとき，$a$の値の範囲を求め，$S(a)$を$a$で表せ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．

【３】　数直線上を点$\mathrm{P}$が$1$ステップごとに，$+1$または$\mathrm{-1}$だけそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で移動する．数直線上の値が$3$の点を$\mathrm{A}$として，$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にたどり着くと停止する．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から出発して，ちょうど$5$ステップで$\mathrm{A}$にたどり着く確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から出発して，ちょうど$6$ステップで値が$2$の点$\mathrm{B}$にたどり着く確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から出発して，$8$ステップ以上移動する確率を求めよ．

【４】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とし，$m$を${\displaystyle \frac{\pi }{4\theta }}$に最も近い整数とする．ただし，$2$つある場合はどちらか一方を選ぶとする．このとき，$\cos \theta \leqq \sin 2m\theta$となることを示せ．

【１】　$▵\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=1$をみたすとし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=t$とおく．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}\text{，}$頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線をおろし，交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$で表せ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$上に点が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{B}$の順に並ぶような$t$の範囲を求めよ．ただし，これら$5$点はどの$2$点も一致しないものとする．

【２】　$a$と$b$を実数とし，曲線$C:y=x^2+2ax+b$と平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(2,4)\text{，}\mathrm{Q}(2,5)\text{，}\mathrm{R}(0,1)$を頂点とする平行四辺形を考える．直線$\mathrm{OP}$は曲線$C$の接線であり，その接点は線分$\mathrm{OP}$上にあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$の上側と平行四辺形$\mathrm{OPQR}$の内部の共通部分の面積を$S(a)$とおく．$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき${\log }_e(1+x)\leqq x$を示せ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　${\log }_{10}2401-{\log }_{10}2400<{\displaystyle \frac{1}{2400}}$を示せ．

(3)　${\log }_{10}7$の値を，小数第$4$位を切り捨て小数第$3$位まで求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として解答せよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{4a_n+1}{2a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの実数$\alpha$と$\beta$に対して，

$b_n={\displaystyle \frac{a_n+\beta }{a_n+\alpha }}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）

とおく．$\{b_n\}$が等比数列となるような$\alpha$と$\beta \text{（}\alpha >\beta$）を$1$組求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【５】　$n$自然数とする．平面上の曲線$C:y=x^2-n$と$x$軸が囲む領域内にあり，$x$座標と$y$座標の値が共に整数であるような点の総数を$a_n$とおく．ただし，曲線$C$上の点および$x$軸上の点も含むとする．$n^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$を超えない最大の整数を$m_n$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$と$m_n$で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{n^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}}$を求めよ．

【６】　$n$を整数とし，$p$を$2$以上の整数で素数とする．$3$次方程式

$x^3+n{x}^2+n^{2}x=p$

が正の整数$x=\alpha$を解にもつとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha =1$であることを示せ．

(2)　上の$3$次方程式が$k+\sqrt{2}i$（$k$は実数）を解にもつとき，$p$の値を求めよ．ここで，$i$は虚数単位とする．