2008　筑波大学　第２学期推薦工学システム学類MathJax

【１】　$x\text{，}y>0$のとき，

${\displaystyle \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}}\geqq x+y$

を示せ．

【２】　$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$I_1$および$I_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}$を示せ．

(3)　$I_{2n+1}<I_{2n}<I_{2n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を既知として，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}}$

を求めよ．

【３】　$a<b$とする．正の値をとる連続関数$f(x)$に関する定積分

${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$

が$xy$平面における曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，および$2$直線$x=a\text{，}x=b$で囲まれた部分の面積となることを説明せよ．

【４】　自然数$n$の自分以外の約数の合計が$n$になるとき，$n$を完全数という．例えば，$6=1+2+3$なので，$6$は完全数である．

(1)　素因数分解を利用して，$496$が完全数になることを示せ．

(2)　$m$を自然数とする．$2^m-1$が素数のとき，$(2^m-1)2^{m-1}$は完全数になることを示せ．