2008　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類MathJax

【２】

問１　$8^{{\log }_{2}3}$の値を求めよ．

【２】

問２　定積分${\displaystyle {\int }_{-5}^3\left|\frac{x}{\sqrt{4-x}}\right|dx}$を求めよ．

【２】

問３　$xy$座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の，時刻$t$における座標が$x=e^{-t}\cos t\text{，}y=e^{-t}\sin t$と表されるとき，下記の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq t\leqq 2\pi$のときに点$\mathrm{P}$が動く軌跡の概形を，右の図を解答用紙に書き写して記入せよ．ただし，$e^{-\frac{\pi }{2}}=0.2$とし，答えのみでよい．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度を求めよ．

(3)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の加速度の大きさを求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(c,d)$について以下の問に答えよ．ただし，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はともに原点$\mathrm{O}$とは異なる点とする．

問１　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は互いに垂直であるとする．このとき，${\displaystyle \frac{b}{a}=r}$とおいて，${\displaystyle \frac{d}{c}}$を$r$によって表せ．

問２　さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(2,0)$が成り立つとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$r$によって表せ．

問３　$r$と媒介変数$t$を用いて点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線のベクトル方程式を求めよ．さらに，この直線と$x$軸との交点の座標を求めよ．

問４　問３で求めた直線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$を求め，その大きさについて調べよ．さらにこれから，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はどのような位置関係にあるか述べよ．

問５　$r$を$0<r<\infty$の範囲で変化させるとき，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の描く軌跡を図示せよ．このとき，$r$の変化に対してそれぞれの点がどのように動くかがわかるように図示すること．