2008　筑波大学　後期応用理工学類MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$g(x)=x\log x+kx$を$x$について微分せよ．ただし，$x$は正の実数，$k$は定数とする．また，不定積分${\displaystyle \int }\log xdx$を求めよ．

(2)　ある自然数を$N$とおく．定積分${\displaystyle {\int }_1^N}\log xdx$を求めよ．また，${\displaystyle {\int }_1^N}\log xdx\leqq \log N!$を証明せよ．

(3)　以降の問いでは関数$f(x)={\displaystyle -\frac{a{x}^2}{2}+\frac{1+x}{2}\log \frac{1+x}{2}+\frac{1-x}{2}\log \frac{1-x}{2}}$について考える．ただし，定義域は$-1<x<1$であり，$a$は定数とする．$f(x)=f(-x)$が成立することを示せ．また，極限$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)$を求めよ．必要であれば$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を使ってよい．

(4)　関数$f(x)$の第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(5)　関数$f(x)$が極小となる$x$の値はいくつあるか．

【２】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数で，$A\ne O$（$O$は$2$次の零行列）とする．

(1)　$ad-bc\ne 0$のとき，$A$の逆行列が存在することを証明せよ．

(2)　次の等式が成り立つことを証明せよ．

$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$

　ここで，$E$は$2$次の単位行列である．

(3)　$A^2=O$を満たすとき，行列$A$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうちで必要な文字を用いて表せ．

(4)　$a+d=1$かつ$ad-bc=1$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{(A-E)}^k$を計算せよ．ここで，$m$は任意の自然数とする．

(5)　${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$を実数として，行列$A$が$A^2+{\alpha }_{1}A+{\alpha }_{2}E=O$を満たすとする．${\alpha }_2\ne 0$のとき，$A$の逆行列が$A^{-1}={\displaystyle -\frac{1}{{\alpha }_2}A-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2}E}$で与えられることを示せ．

(6)　行列$A$が$A^n+{\alpha }_1{A}^{n-1}+{\alpha }_2{A}^{n-2}+\cdots +{\alpha }_{n}E=O$を満たすとき，$A$の逆行列を$A$と$E$および${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}\cdots \text{，}{\alpha }_n$を用いて表せ．ここで，$n$は$2$以上の自然数で，${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}\cdots \text{，}{\alpha }_n\text{（}{\alpha }_n\ne 0\text{）}$は実数とする．