2008　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】　多項式$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}\cdots$および$g_1(x)\text{，}{g}_2(x)\text{，}\cdots$を次の手順(a)，(b)により定める．

• (a)　$f_1(x)=x\text{，}{g}_1(x)=1$
• (b)　$f_n(x)\text{，}{g}_n(x)$が定まったとき，

  $\{\begin{array}{l}{f}_{n+1}(x)=x{f}_n(x)+(x^2-1)g_n(x)\\ g_{n+1}(x)=f_n(x)+x{g}_n(x)\end{array}$

  によって$f_{n+1}(x)\text{，}{g}_{n+1}(x)$を定める．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)\text{，}{g}_2(x)$および$f_3(x)\text{，}{g}_3(x)$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，等式

${\{f_n(x)\}}^2-(x^2-1){\{g_n(x)\}}^2=1$

が成立することを証明せよ．

(3)　自然数$n$に対して，次の等式を証明せよ．

$\{\begin{array}{l}{f}_n(\cos \theta )=\cos n\theta \\ g_n(\cos \theta )\sin \theta =\sin n\theta \end{array}$

【２】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$y=mx+n$がこの楕円に接するとき，$m$と$n$の関係式を求めよ．

(2)　楕円の外部に点$\mathrm{P}(a,b)({\displaystyle \frac{a^2}{4}}+b^2>1)$をとる．ただし，$|a|\ne 2$とする．点$\mathrm{P}$から楕円に引いた$2$つの接線の傾きを$m_1\text{，}{m}_2$とするとき，積$m_1{m}_2$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　(2)における$2$つの接線が直交するとき，点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$との距離を求めよ．

【３】　曲線$C:y=\log x\text{（}x>0$）を考える．$C$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\log a)\text{，}\mathrm{B}(b,\log b)$をとり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における$C$の法線の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$b$を$a$に近づけたときの点$\mathrm{P}$の極限を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AQ}$の長さを最小にする$a$の値とそのときの$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．

【４】　$f(x)=x^4-9x^2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の接線で点$(3,0)$を通るものをすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた接線のうち，接点の$x$座標が負のものを$y=ax+b$とおく．この接線の接点の$x$座標を$p$としたとき，定積分

${\displaystyle {\int }_p^3}|f(x)-(ax+b)|dx$

を計算せよ．