2008　千葉大学　飛び入学数学課題MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$のとき，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{，}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問に答えなさい．

(2)　$a$は実数で，$a>0\text{，}a\ne 1$とする．このとき，

${\log }_a{10}^4+{\log }_{10}a+4=0$

を満たす$a$の値を求めなさい．

【１】　以下の問に答えなさい．

(3)　$3$人でじゃんけんをして，$2$回以内に$1$人だけが勝ち残る確率を求めなさい．ただし，$1$回目で$2$人が勝ち残った場合，$2$回目はその$2$人だけでじゃんけんをするものとする．

【１】　以下の問に答えなさい．

(4)　数学的帰納法によって，次の等式を証明しなさい．

${(1+2+\cdots +n)}^2=1^3+2^3+\cdots +n^3$

【１】　以下の問に答えなさい．

(5)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{0}$でなく，互いに平行でないとする．このとき，$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}$が垂直になるような$t$の値を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．ただし，$t>0$とする．

【２】　$2$次方程式に関する以下の問に答えなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は定数で，$a\ne 0$とする．このとき，$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の解の公式を導きなさい．

(2)　$2$次関数$y=m{x}^2+2x+m+2$に対して，$y$の値が常に$\mathrm{-2}$以下になるための$m$の範囲を求めなさい．

【３】　実数$a$が$0<a<2$の範囲を動くとき，以下の問に答えなさい．

(1)　積分

${\displaystyle {\int }_0^2}|x(x-2)(x-a)|dx$

を計算しなさい．

(2)　(1)の積分が最小になるような$a$の値を求めなさい．