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2008-10261-0101
2008 東京大学 前期
文科
易□ 並□ 難□
【1】 0≦α ≦β をみたす実数 α , β と, 2 次式 f⁡ (x)= x2− (α+ β)⁢ x+α ⁢β について,
∫−11 ⁡f ⁡(x) ⁢d⁢x =1
が成立しているとする.このとき定積分
S= ∫0α ⁡f⁡ (x)⁢ d⁢x
を α の式で表し, S がとりうる値の最大値を求めよ.
2008-10261-0102
理科【2】の類題
【2】 白黒 2 種類のカードがたくさんある.そのうち 4 枚を手もとにもっているとき,次の操作(A)を考える.
(A) 手持ちの 4 枚の中から 1 枚を,等確率 14 で選び出し,それを違う色のカードにとりかえる.
最初にもっている 4 枚のカードは,白黒それぞれ 2 枚であったとする.以下の(1),(2)に答えよ.
(1) 操作(A)を 4 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 操作(A)を n 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
2008-10261-0103
【3】 座標平面上の 3 点 A (1, 0), B(−1 ,0) ,C( 0,−1 ) に対し,
∠APC= ∠BPC
をみたす点 P の軌跡を求めよ.ただし P ≠A , B ,C とする.
2008-10261-0104
【4】 p を自然数とする.次の関係式で定められる数列 { an} , {a n} を考える.
{ a1 =p ,b1 =p+ 1 an +1= an+ p⁢b n( n=1 ,2 ,3 ,⋯) bn +1= p⁢an +(p+ 1)⁢ bn (n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
(1) n=1 ,2 , 3, ⋯ に対し,次の 2 つの数がともに p 3 で割り切れることを示せ.
an− n ⁢(n− 1)2 ⁢p2 −n⁢ p, bn− n⁢(n −1)⁢ p2− n⁢p− 1
(2) p を 3 以上の奇数とする.このとき, ap は p 2 で割り切れるが, p3 では割り切れないことを示せ.
2008-10261-0105
理科
【1】 座標平面上の点 (x ,y) を (3 ⁢x+y ,−2⁢ x) へ移す移動 f を考え,点 P が移る行き先を f ⁡(P ) と表す. f を用いて直線 l 0 ,l 1 ,l 2 ,⋯ を以下のように定める.
以下 l n を 1 次式を用いて a n⁢x +bn ⁢y= 1 と表す.
(1) an+ 1 ,b n+1 を a n ,b n で表せ.
(2) 不等式 a n⁢x +bn ⁢y> 1 が定める領域を D n とする. D 0 ,D 1 ,D 2 ,⋯ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ.
2008-10261-0106
文科【2】の類題
【2】 白黒 2 種類のカードがたくさんある.そのうち k 枚のカードを手もとにもっているとき,次の操作(A)を考える.
(A) 手持ちの k 枚の中から 1 枚を,等確率 1k で選び出し,それを違う色のカードにとりかえる.
以下の問(1),(2)に答えよ.
(1) 最初に白 2 枚,黒 2 枚,合計 4 枚のカードをもっているとき,操作(A)を n 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 最初に白 3 枚,黒 3 枚,合計 6 枚のカードをもっているとき,操作(A)を n 回繰り返した後に初めて, 6 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
2008-10261-0107
【3】(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く.この八面体を真上から見た図(平面図)を描け.
(2) 正八面体の互いに平行な 2 つの面をとり,それぞれの面の重心を G 1 , G2 とする. G1 , G2 を通る直線を軸としてこの八面体を 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.ただし八面体は内部も含むものとし,各辺の長さは 1 とする.
2008-10261-0108
【4】 放物線 y= x2 上に 2 点 P , Q がある.線分 PQ の中点の y 座標を h とする.
(1) 線分 PQ の長さ L と傾き m で, h を表せ.
(2) L を固定したとき, h がとりうる値の最小値を求めよ.
2008-10261-0109
【5】 自然数 n に対し, 10n −19 = 111⋯111 ⏞n 個 を n で表す.たとえば 1= 1, 2 =11 , 3 =111 である.
(1) m を 0 以上の整数とする. 3m は 3 m で割り切れるが, 3 m+1 では割り切れないことを示せ.
(2) n が 27 で割り切れることが, n が 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.
2008-10261-0110
【6】 座標平面において,媒介変数 t を用いて
{ x=cos⁡ 2⁢t y=t⁢ sin⁡t (0≦ t≦2⁢π )
と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ.