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2008 東京大学 前期

文科

易□ 並□ 難□

【1】  0α β をみたす実数 α β と, 2 次式 f (x)= x2 (α+ β) x+α β について,

−11 f (x) dx =1

が成立しているとする.このとき定積分

S= 0α f (x) dx

α の式で表し, S がとりうる値の最大値を求めよ.

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文科

理科【2】の類題

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【2】 白黒 2 種類のカードがたくさんある.そのうち 4 枚を手もとにもっているとき,次の操作(A)を考える.

(A) 手持ちの 4 枚の中から 1 枚を,等確率 14 で選び出し,それを違う色のカードにとりかえる.

最初にもっている 4 枚のカードは,白黒それぞれ 2 枚であったとする.以下の(1),(2)に答えよ.

(1) 操作(A)を 4 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

(2) 操作(A)を n 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

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文科

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【3】 座標平面上の 3 A (1, 0) B(−1 ,0) C( 0,−1 ) に対し,

APC= BPC

をみたす点 P の軌跡を求めよ.ただし P A B C とする.

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文科

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【4】  p を自然数とする.次の関係式で定められる数列 { an} {a n} を考える.

{ a1 =p b1 =p+ 1  an +1= an+ pb n n=1 2 3 bn +1= pan +(p+ 1) bn n=1 2 3

(1)  n=1 2 3 に対し,次の 2 つの数がともに p 3 で割り切れることを示せ.

an n (n 1)2 p2 n p bn n(n 1) p2 np 1

(2)  p 3 以上の奇数とする.このとき, ap p 2 で割り切れるが, p3 では割り切れないことを示せ.

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理科

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【1】 座標平面上の点 (x ,y) (3 x+y ,−2 x) へ移す移動 f を考え,点 P が移る行き先を f (P ) と表す. f を用いて直線 l 0 l 1 l 2 を以下のように定める.

以下 l n 1 次式を用いて a nx +bn y= 1 と表す.

(1)  an+ 1 b n+1 a n b n で表せ.

(2) 不等式 a nx +bn y> 1 が定める領域を D n とする. D 0 D 1 D 2 すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ.

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理科

文科【2】の類題

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【2】 白黒 2 種類のカードがたくさんある.そのうち k 枚のカードを手もとにもっているとき,次の操作(A)を考える.

(A) 手持ちの k 枚の中から 1 枚を,等確率 1k で選び出し,それを違う色のカードにとりかえる.

以下の問(1),(2)に答えよ.

(1) 最初に白 2 枚,黒 2 枚,合計 4 枚のカードをもっているとき,操作(A)を n 回繰り返した後に初めて, 4 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

(2) 最初に白 3 枚,黒 3 枚,合計 6 枚のカードをもっているとき,操作(A)を n 回繰り返した後に初めて, 6 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

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理科

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【3】(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く.この八面体を真上から見た図(平面図)を描け.

(2) 正八面体の互いに平行な 2 つの面をとり,それぞれの面の重心を G 1 G2 とする. G1 G2 を通る直線を軸としてこの八面体を 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.ただし八面体は内部も含むものとし,各辺の長さは 1 とする.

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理科

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【4】 放物線 y= x2 上に 2 P Q がある.線分 PQ の中点の y 座標を h とする.

(1) 線分 PQ の長さ L と傾き m で, h を表せ.

(2)  L を固定したとき, h がとりうる値の最小値を求めよ.

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理科

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【5】 自然数 n に対し, 10n 19 = 111111 n n で表す.たとえば 1= 1 2 =11 3 =111 である.

(1)  m 0 以上の整数とする. 3m 3 m で割り切れるが, 3 m+1 では割り切れないことを示せ.

(2)  n 27 で割り切れることが, n 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.

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理科

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【6】 座標平面において,媒介変数 t を用いて

{ x=cos 2t y=t sint 0 t2π

と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ.

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