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2008-10262-0101
2008 東京医科歯科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 座標空間に 5 点
P(0 ,0,h ), Q(t ,0,0 ), R(0 ,t,0 ), S(− t,0, 0) ,T( 0,−t ,0)
をとる.ここで t , h は 0< t< 1, h>0 を満たす実数である.また点 A (1, 1,0 ) と点 Q を結ぶ線分の長さは線分 PQ の長さと等しいとする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 四角錐 PQRST の表面積を t を用いて表せ.
(2) h を t を用いて表せ.
(3) t が 0< t<1 の範囲で変化するとき,四角錐 PQRST の体積の最大値を求めよ.
2008-10262-0102
【2】 以下の各問いに答えよ.ただし t は 0 <t< π を満たす実数とする.
(1) 次の等式を証明せよ.
( cos⁡t2 )⁢( cos⁡t 4)⁢ (cos⁡ t8) = sin⁡t 8⁢sin ⁡ t8
(2) 次のように定義される数列 { an} の極限値 lim n→∞ ⁡a n を t を用いて表せ.
a1= cos⁡ t2 ,an =an −1 ⁢( cos⁡t 2n ) ( n=2 ,3 , ⋯ )
(3) 数列 { bn} ,{ cn} を次のように定義する.
このとき lim n→∞ ⁡c n を求めよ.
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【3】 微分可能な関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) が次の 4 条件を満たしている.
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) f⁡(0 ) および g⁡ (0) を求めよ.
(2) |f ⁡(x) | 2− | g⁡(x )| 2 を求めよ.
(3) limx→ ∞⁡ 1 −f⁡( x)x 2 を求めよ.
(4) f⁡(x ) の導関数を g⁡ (x) を用いて表せ.