2008　東京医科歯科大学　前期MathJax

2008　東京医科歯科大学　前期

易□　並□　難□

【１】　座標空間に $5$ 点

$P (0, 0, h) ， Q (t, 0, 0) ， R (0, t, 0) ， S (- t, 0, 0) ， T (0, - t, 0)$

をとる．ここで $t ， h$ は $0 < t < 1 ， h > 0$ を満たす実数である．また点 $A (1, 1, 0)$ と点 $Q$ を結ぶ線分の長さは線分 $PQ$ の長さと等しいとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　四角錐 $PQRST$ の表面積を $t$ を用いて表せ．

(2)　 $h$ を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $t$ が $0 < t < 1$ の範囲で変化するとき，四角錐 $PQRST$ の体積の最大値を求めよ．

2008　東京医科歯科大学　前期

易□　並□　難□

【２】　以下の各問いに答えよ．ただし $t$ は $0 < t < π$ を満たす実数とする．

(1)　次の等式を証明せよ．

$(\cos \frac{t}{2}) (\cos \frac{t}{4}) (\cos \frac{t}{8}) = \frac{\sin t}{8 \sin \frac{t}{8}}$

(2)　次のように定義される数列 ${a_{n}}$ の極限値 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ を $t$ を用いて表せ．

$a_{1} = \cos \frac{t}{2} ， a_{n} = a_{n - 1} (\cos \frac{t}{2^{n}}) （ n = 2 ， 3 ， \dots$ ）

(3)　数列 ${b_{n}} ， {c_{n}}$ を次のように定義する．

$b_{1} = \sqrt{\frac{1}{2}} ， b_{n} = \sqrt{\frac{1 + b_{n - 1}}{2}} （ n = 2 ， 3 ， \dots$ ）
$c_{1} = \sqrt{\frac{1}{2}} ， c_{n} = c_{n - 1} b_{n} （ n = 2 ， 3 ， \dots$ ）

このとき $\lim_{n \to \infty} c_{n}$ を求めよ．

2008　東京医科歯科大学　前期

易□　並□　難□

【３】　微分可能な関数 $f (x) ， g (x)$ が次の $4$ 条件を満たしている．

このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　 $f (0)$ および $g (0)$ を求めよ．

(2)　 ${| f (x) |}^{2} - {| g (x) |}^{2}$ を求めよ．

(3)　 $\lim_{x \to \infty} \frac{1 - f (x)}{x^{2}}$ を求めよ．

(4)　 $f (x)$ の導関数を $g (x)$ を用いて表せ．