2008　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　整式$P(x)$を$x^3-1$で割った余りが$a{x}^2-bx+1$であり，$x^3+2x^2+2x+1$で割った余りが$-3a{x}^2+bx+9$であるとき，実数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{PMQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるようにとる．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$のとき，下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{M}$に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，$\angle \mathrm{ACR}$を$\theta$で表せ．

(2)　$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{CQ}$および$\theta$を用いて表せ．

【３】　曲線$C:y=x{e}^{-x}$と直線$l:y=kx$のすべての交点の$x$座標が$0\leqq x\leqq 2$をみたすとする．$C$と$l$および直線$x=2$で囲まれる図形の面積を$S$とおくとき，$S$が最小になる$k$の値を求めよ．

【４】　半径$1$の$2$つの円が図のように異なる$2$点で交わっている．$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，弧$\mathrm{AB}$に対する円の中心角の大きさを$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．斜線をつけた図形を$D$とし，$D$の周囲の長さを$L\text{，}$の面積を$S$とする．${\displaystyle \frac{S}{L}}$を最大にする$\theta$がただ$1$つ存在することを示せ．