2008　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_1\text{，}{y}_2$が

• $0<a_1\leqq a_2$
• $a_1{x}_1\leqq a_1{y}_1$
• $a_1{x}_1+a_2{x}_2\leqq \leqq a_1{y}_1+a_2{y}_2$

をみたしているとする．このとき$x_1+x_2\leqq y_1+y_2$であることを証明せよ．

(2)　$n$を$2$以上の整数とし，$3n$個の実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}{y}_1\text{，}{y}_2\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$が

$0<a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$

および$n$個の不等式

${\displaystyle \sum _{i=1}^j}{a}_i{x}_i\leqq {\displaystyle \sum _{i=1}^j}{a}_i{y}_i\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）

をみたしているならば，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i\leqq {\displaystyle \sum _{i=1}^n}{y}_i$

であることを証明せよ．

【２】　自然数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2|\sin n\pi x|dx$

とおく．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．