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2008-10267-0401
2008 東京工業大学 特別入学資格試験想定問題
第1類(理学部)
易□ 並□ 難□
【1】 m を正の整数とする.空間内の 3 点 P m( m,0, 0), Qm (0 ,m,0 ), Rm (0, 0,2⁢ m) のなす 3 角形 ▵ Pm QmR m 上にある整数点(座標がすべて整数である点)の個数を am とおく. 0<r< 1 なるとき X m=1+ a1⁢ r+a2 ⁢r2 +⋯+ am⁢ rm の m→ ∞ での極限値を求めよ.
2008-10267-0402
【2】 O を原点,直線 y= x( c>0 )が曲線 y= x−4⁢ x3 と第 1 象限の点 P , Q で交わり, y 軸を R で横切るとする. y 軸と直線 y= c と曲線 y= x−4⁢ x3 で囲まれる領域 OQR と曲線 y= x−4⁢ x3 の下側で線分 QP より上の領域 K の面積比を f⁡ (c) とおく.このとき, f⁡( c0) =1 となる c0 を求め, f′ ⁡(c0 ) を計算せよ.
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【3】 数列 { an} を a n= ∑k= 1n ⁡(−1 )k− 1⁢k と定める.またこれを用いて,数列 { bn} ,{ cn } を
bn= 1 n⁢( a1+ a2+ ⋯+a n) ,cn = 1n ⁢(b 1+b 2+⋯ +bn )
と定義する.このとき,これらの数列 {a n} ,{ bn }, {cn } は収束するかどうかを調べよ.収束するものに対しては極限値を求めよ.
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【4】 a>0 として
y=a⁢ x4− (a+1 )⁢x2 +b⁢x +c (1)
の 2 つの変曲点を P , Q とする. 2 点 P , Q で(1)に接するような 2 次関数
y=g⁡ (x ) (2)
をとるとき,(1)と(2)で囲まれる部分の面積の最小値を求めよ.