2008　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<1$のとき$-{\displaystyle \frac{1}{e}}\leqq x\log x<0$が成り立つことを示せ．

(2)　$0<x<1$のとき$-{\displaystyle \frac{2}{e}}\sqrt{x}\leqq x\log x<0$が成り立つことを示し$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x$を求めよ．

(3)　$y=logx$のグラフを$\alpha \leqq x\leqq 1$の範囲で$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．ただし$0<\alpha <1$とする．

(4)　上で求めた体積を$V(\alpha )$とし，$\underset{\alpha \to +0}{\lim }V(\alpha )$を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について次の問いに答えよ．

(1)　$A$で表される移動によって第$1$象限の点は第$1$象限に移り，かつ第$2$象限の点は第$2$象限に移るための必要十分条件を求めよ．ただし，第$1$象限とは$x>0$かつ$y>0$で定められる領域であり，第$2$象限とは$x<0$かつ$y>0$で定められる領域である．

(2)　(1)の条件をみたす$A$で表される移動によって点$(x,y)$が点$(u,v)$に移ったとき常に$uv=2xy$が成り立ち，点$\mathrm{P}(1,1)$が$\mathrm{Q}$に移ったときに$▵\mathrm{OPQ}$の面積が$4$になる．このとき$A$を求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

【３】　内接円の半径が$1$であるような$▵\mathrm{ABC}$について次の問いに答えよ．

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{A}}{2}}=\alpha \text{，}\tan {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{B}}{2}}=\beta \text{，}\tan {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{C}}{2}}=\gamma$とおく．このとき$\gamma$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．

(2)　$t$を正の定数とする．$\tan {\displaystyle \frac{\angle \mathrm{C}}{2}}=t$となるような$▵\mathrm{ABC}$の面積の最小値を$t$を用いて表せ．

(3)　内接円の半径が$1$である三角形の面積の最小値を求めよ．

【４】　右図のように二つの部屋$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の間に通路$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$がある．通路$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$は確率$p$で開き，通路$\mathrm{G}$は確率$q$で開き，通路$\mathrm{H}$は確率$r$で開く．各通路の開閉は互いに独立である．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$q=0\text{，}r=0$のとき$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が開かれた通路でつながっている確率を求めよ．

(2)　$q=1\text{，}r=0$のとき$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が開かれた通路でつながっている確率を求めよ．

(3)　$q=1\text{，}r=1$のとき$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が開かれた通路でつながっている確率を求めよ．

(4)　$0<q<1\text{，}0<r<1$のとき$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が開かれた通路でつながっている確率を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x{e}^x+x^2+(2-e^{\mathrm{-2}})x$を考える．

(1)　関数$g(x)=x{e}^x$の最小値を求めよ．

(2)　$f^{″}(x)>0$であることを示せ．

(3)　$f(x)=0$を満たす$x$や$f(x)$の極値を与える$x$がどのような位置関係にあるかを考え，関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(4)　関数$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】(1)　集合$\mathrm{A}=\{1,2,4,8,16,\cdots \}$は$2$のべき乗全体より成るものとする．

(ⅰ)　$37$を$\mathrm{A}$の相異なるいくつかの要素の和として表せ．

(ⅱ)　すべての自然数は，$\mathrm{A}$の相異なるいくつかの要素の和として表せることを示せ．

(2)　集合$\mathrm{B}$を$2$のべき乗と$3$のべき乗の積として表せる自然数全体より成るものとし，次の問題を考える．

問題$\mathrm{P}:$与えられた自然数$n$を，どの要素も他の要素の約数にならないような$\mathrm{B}$のいくつかの要素の和として表せ．

たとえば$n=19$のとき，$19=4+6+9$は問題$\mathrm{P}$の一つの解である．

(ⅰ)　自然数$23\text{，}46\text{，}127$のそれぞれについて，問題$\mathrm{P}$の解を一つずつ与えよ．ここで，$46=23\times 2\text{，}127=3^4+23\times 2$であることを用いてよい．

(ⅱ)　すべての自然数$n$について問題$\mathrm{P}$の解があることを，自然数$n$についての数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$n$が偶数の場合と奇数の場合に分けて，それぞれ異なる方法で$n$より小さな場合に帰着させよ．