2008　一橋大学　前期MathJax

【１】　$k$を正の整数とする．$5n^2-2kn+1<0$をみたす整数$n$が，ちょうど$1$個であるような$k$をすべて求めよ．

【２】　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$は異なる$3$つの解$p\text{，}q\text{，}r$をもつ．さらに，$2p^2-1\text{，}2q-1\text{，}2r-1$も同じ方程式の異なる$3$つの解である．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}p\text{，}q\text{，}r$の組をすべて求めよ．

【３】　$a$を正の実数とする．点$(x,y)$が，不等式$x^2\leqq y\leqq x$の定める領域を動くとき，常に${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {(x-a)}^2+y\leqq 2$となる．$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$の$1$辺の長さを$1$とする．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，$0<t<1$をみたす$t$に対して，辺$\mathrm{OC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の面積が最小となるときの$t$の値を求めよ．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．$2n$枚のカードがあり，そのうち赤いカードの枚数は$6$，白いカードの枚数は$2n-6$である．これら$2n$枚のカードを，箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$に$n$枚ずつ無作為に入れる．$2$つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど$k$枚入っている確率を$p_k$とする．

(1)　$p_2$を$n$の式で表せ．さらに，$p_2$を最大にする$n$をすべて求めよ．

(2)　$p_1+p_2<p_0+p_3$をみたす$n$をすべて求めよ．